数学物理方程

第1章 典型方程与定解条件

1.1 基本概念

1.2 典型方程的导出

1.3 定解条件

1.4 定解问题的提法

1.5 两个自变量情形下线性方程的分类

1.5.1 变系数的线性方程

1.5.2 常系数线性方程

1.5.3 多个自变量的方程的分类

习题1

第2章 分离变量法

2.1 有界弦的自由振动

2.2 有限长杆上的热传导

2.2.1 热传导方程的第二边值问题

2.2.2 有限长杆上的热传导

2.3 矩形薄板的热传导问题

2.4 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题

2.5 非齐次方程的解法

2.5.1 齐次化原理

2.5.2 特征函数法

2.6 非齐次边界条件的处理

2.7 二阶常微分方程特征值问题

习题2

第3章 行波法

3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式

3.2 三维波动方程的泊松公式

3.2.1 三维波动方程的球对称解

3.2.2 三维波动方程的泊松公式

3.2.3 泊松公式的物理意义

3.2.4 降维法

习题3

第4章 积分变换法

4.1 傅里叶积分与傅里叶变换

4.2 傅里叶变换的基本性质

4.3 傅里叶变换应用举例

4.4 拉普拉斯变换

4.5 拉普拉斯变换的基本性质

4.6 拉普拉斯变换应用举例

习题4

第5章 格林函数法

5.1 拉普拉斯方程边值问题

5.2 格林公式

5.3 格林函数

5.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解

5.4.1 半空间的格林函数

5.4.2 球域上的格林函数

习题5

第6章 贝塞尔函数

6.1 贝塞尔方程的引出

6.2 贝塞尔方程的求解

6.2.1 非整数阶贝塞尔方程的解

6.2.2 整数阶贝塞尔方程的解

6.3 贝塞尔函数的性质

6.3.1 贝塞尔函数的递推公式

6.3.2 贝塞尔函数的零点

6.3.3 贝塞尔函数的正交性

6.3.4 函数展开成贝塞尔函数的级数

6.4 贝塞尔函数应用举例

习题6

第7章 勒让德多项式

7.1 勒让德方程的引出

7.2 勒让德方程的求解

7.3 勒让德多项式的性质

7.3.1 勒让德多项式的递推公式

7.3.2 勒让德多项式的奇偶性

7.3.3 勒让德多项式的正交性

7.3.4 函数展开成勒让德多项式的级数

7.4 勒让德多项式应用举例

习题7

第8章 有限差分法

8.1 导数的差商近似

8.2 拉普拉斯方程的有限差分格式

8.3 热传导方程的有限差分格式

8.4 波动方程的有限差分格式

习题8

第9章 有限元法

9.1 迦辽金方程

9.2 刚度矩阵

9.3 源汇项及边界条件处理

习题9

第10章 极值原理

10.1 热传导方程解的极值原理

10.1.1 极值原理

10.1.2 混合问题解的唯一性与稳定性

10.1.3 柯西问题解的唯一性与稳定性

10.2 拉普拉斯方程解的极值原理

10.2.1 极值原理

10.2.2 第一边值问题解的唯一性与稳定性

10.3 强极值原理、第二边值问题解的唯一性

10.3.1 强极值原理

10.3.2 第二边值问题解的唯一性

习题10

附录A г函数的基本知识

附录B 傅里叶变换与拉普拉斯变换简表

习题答案

参考书目

《数学物理方程》全面系统地介绍了数学物理方程课程中适合本科生及研究生（非数学类专业）需要的各种实用的方法。全书共十章，主要包括典型方程、定解条件与方程分类、分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法、贝塞尔函数、勒让德多项式、有限差分法、有限元法、极值原理及其应用等。每章配有例题及习题。书末附有两个附录及习题答案和提示。
《数学物理方程》适合作为高等院校本科各相关专业及研究生（非数学类专业）教材或教学参考书，教学时数约为60学时；也可供有关教师和工程技术人员参考。