数学物理方程与特殊函数

绪论

第1章典型方程的推导及基本概念

1.1弦振动方程与定解条件

1.1.1方程的导出

1.1.2定解条件

1.2热传导方程和定解条件

1.2.1方程的导出

1.2.2定解条件

1.3拉普拉斯方程与定解条件

1.4基本概念与叠加原理

1.4.1偏微分方程的基本概念

1.4.2定解问题及其适定性

1.4.3叠加原理

1.5二阶偏微分方程的分类

习题1

第2章分离变量法

2.1有界弦的自由振动

2.1.1分离变量法

2.1.2解的物理诠释

2.1.3分离变量法的应用

2.2非齐次弦振动问题的求解

2.2.1非齐次方程的固有函数法

2.2.2非齐次边界条件的处理

2.2.3特殊的非齐次边界条件

2.3有限长杆上的热传导问题

2.3.1无源热传导问题

2.3.2含源热传导问题

2.3.3非齐次边界条件的处理

2.4二维拉普拉斯方程

2.4.1矩形域上拉普拉斯方程的边值问题

2.4.2圆形域上拉普拉斯方程的边值问题

2.4.3固有函数法与特解法求解泊松方程

2.5固有值与固有函数

习题2

第3章行波法与积分变换法

3.1一阶线性偏微分方程的特征线法

3.1.1方向导数与偏微分方程

3.1.2特征线法求解偏微分方程

3.2一维波动方程的初值问题

3.2.1齐次方程与达朗贝尔公式

3.2.2非齐次方程与齐次化原理

3.2.3行波法与分离变量法

3.3延拓法求解半无限长弦的振动问题

3.3.1半无限长弦的自由振动

3.3.2半无限长弦的强迫振动

3.3.3非齐次边界条件的处理

3.4高维波动方程的初值问题

3.4.1三维波动方程的球对称解

3.4.2三维波动方程的平均值法

3.4.3降维法

3.4.4泊松公式的物理意义

3.5积分变换法

3.5.1傅里叶变换的应用

3.5.2拉普拉斯变换的应用

习题3

第4章格林函数

4.1δ函数

4.2无界域中的格林函数

4.3格林公式有界域上的格林函数

4.4格林函数的应用

习题4

第5章贝塞尔函数

5.1贝塞尔方程及求解

5.1.1贝塞尔方程的导出

5.1.2贝塞尔方程的求解

5.2贝塞尔函数的递推公式及其振荡特性

5.2.1递推关系

5.2.2振荡特性

5.3按贝塞尔函数展开为级数

5.3.1贝塞尔函数的正交性

5.3.2贝塞尔级数展开

5.4贝塞尔函数的应用

5.5圆柱冷却问题

习题5

第6章勒让德多项式

6.1勒让德方程的导出

6.2勒让德方程的求解

6.3勒让德多项式

6.4函数展开成勒让德多项式的级数

6.5连带的勒让德多项式

习题6

第7章变分法及应用

7.1泛函和泛函极值

7.2变分法在固有值问题中的应用

7.3伽辽金方法

7.4坐标函数的选择

第8章非线性偏微分方程与积分方程

8.1非线性偏微分方程简介

8.2简单非线性问题的求解

8.3积分方程简介

第9章数学物理中的近似解法

9.1解析近似解

9.1.1正则摄动法求解非线性偏微分方程

9.1.2积分方程的近似解

9.2数学物理方程的差分解法

9.3积分方程的数值积分法

习题解答

参考文献

附录1双调和方程

附录2探讨定解问题的适定性能量积分法

　　数学物理方程的研究对象是具有物理背景的偏微分方程(组)，本书把物理规律、数学方法与工程实际这三者有机地结合在一起，通过对数学物理方程的一些基本概念及三类典型方程、分离变量法、特征线法、行波法、平均值法、积分变换法、格林函数法等的深入剖析，阐明了个方法的基本理论、解题的典型技巧以及它们的物理背景。本书最后3章还介绍了在工程实践中应用广泛的非线性偏微分方程及积分方程，并简要介绍了变分法、解析近似解及数值近似解等内容。　　本书主要介绍了三类典型数学物理方程波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程的各种求解方法以及特殊函数的基础知识。　　全书重点讲解了分离变量法、特征线法、行波法、平均值法、积分变换法、格林函数法等常用方法，探讨了贝塞尔函数及勒让德多项式的应用，简要介绍了变分法、近似解以及在工程实践中应用广泛的非线性偏微分方程及积分方程等内容。书中配有丰富的习题，并采用“专题问题”较为深入地研究某个具体现象，补充和扩展了正文的内容。　　本书内容丰富，在注意科学性与严密性的同时，又注意了它的实用性与可读性，具有由浅入深、脉络清晰、便于学生自学的特点。可作为高等学校理工科各专业的教材或参考书，亦可供工程技术人员参考。