混沌、Mel’nikov方法及新发展

《现代数学基丛书》序

前言

第1章 动力系统的基本概念

1.1 流和离散动力系统

1.2 基本定义和性质

1.3 拓扑共轭、结构稳定性与分枝

第2章 符号动力系统、有限型子移位和混沌概念

2.1 符号动力系统

2.2 有限型子移位

2.3 Li-Yorke定理和Sarkovskii序

2.4 混沌概念的推广

第3章 二阶周期微分系统与二维映射

3.1 二阶周期微分系统的谐波解

3.2 脉冲激励系统的Poincaré映射

3.3 Poincaré映射的线性近似与周期解的稳定性

3.4 二维线性映射

3.5 二维映射的Hopf分枝与Arnold舌头

第4章 Smale马蹄与横截同宿环

4.1 Smale的马蹄映射

4.2 Moser定理及其推广

4.3 二维微分同胚的双曲不变集、跟踪引理和Smale-Birkhoff定理

4.4 Rm上的Cr微分同胚的不变集与双曲性

4.5 分枝到无穷多个汇

4.6 Hénon映射的Smale马蹄

第5章 平面Hamilton系统和等变系统

5.1 二维可积系统与作用-角度变量

5.2 等变动力系统的定义和例子

5.3 几类对称系统的周期轨道族与同宿轨道

5.4 周期解族周期的单调性

第6章 Mel′nikov方法：扰动可积系统的混沌判据

6.1 由更替法导出的Mel′nikov函数

6.2 次谐波分枝的存在性及其与同宿分枝的关系

6.3 次谐波解的稳定性

6.4 周期扰动系统的Mel′nikov积分

6.5 周期扰动系统的次谐波Mel′nikov函数

6.6 慢变振子的周期轨道

6.7 慢变振子的同宿轨道

第7章 Mel′nikov方法:应用

7.1 软弹簧Duffing系统的次谐与马蹄

7.2 具有对称异宿环系统的次谐与马蹄

7.3 Josephson结的I~V特性曲线

7.4 环面上的Van der Pol方程的次谐分枝与马蹄

7.5 生物系统的分枝与混沌性质

7.6 两分量Bose-Einstein凝聚态系统的混沌与分枝

7.7 大Rayleigh数Lorenz方程的周期解和同宿分枝

7.8 两个自由度Hamilton系统的混沌性质

附录 Jacobi椭圆函数有理式的Fourier级数

第8章 秩一吸引子的概念和混沌动力学

8.1 秩一吸引子的概念和混沌动力学理论

8.2 在常微分方程中的应用

第9章 耗散鞍点的同宿缠结动力学

9.1 基本方程和返回映射

9.2 动力学结果

9.3 具体例子及数值结果

9.4 映射R的具体推导

附录 Mel′nikov函数（9.1.3）与Mel′nikov函数（6.4.21）的关系

第10章 耗散鞍点的异宿缠结动力学

10.1 基本方程和返回映射

10.2 动力学结果

10.3 具体例子及数值结果

10.4 返回映射F的推导

附录 Ee（t），Ee*（t）的极限

参考文献

《现代数学基础丛书》已出版书目

物理、化学、力学和生物学中物质运动的数学模型往往用微分方程所定义的连续动力系统来模拟，这些动力学模型存在着复杂的动力学行为——混沌性质。《混沌、Mel'nikov方法及新发展》介绍精确地判定Smale马蹄存在意义下具有混沌性质的Mel'nikov方法，并介绍近年来学者们所发展的同宿和异宿到耗散鞍型周期轨道的同宿和异宿缠结理论。

《混沌、Mel'nikov方法及新发展》主要面向从事动力系统应用的读者，亦可作为硕士研究生、博士研究生和对常微分方程与动力系统感兴趣的人员的入门读物。所介绍的内容是基本的，可供对混沌及其应用感兴趣的研究人员参考。阅读本书需要学习过数学分析和微分方程课程的基础知识。