工程数值方法

第1部分 建模、计算机与误差分析问题 1

PT1.1 动机 2

PT1.1.1 非计算机方法 2

PT1.1.2 数值方法与工程实践 3

PT1.2 数学背景 4

PT1.3 导读 6

PT1.3.1 范围与预览 6

PT1.3.2 目标 7

第1章 数学建模与工程问题求解 9

1.1 一个简单的数学模型 9

1.2 守恒律与工程 15

习题 18

第2章 程序设计与软件 24

2.1 软件包与程序设计 24

2.2 结构化程序设计 25

2.3 模块化程序设计 33

2.4 Excel 35

2.5 MATLAB 38

2.6 MATHCAD 42

2.7 其他的语言和软件库 43

习题 43

第3章 逼近与舍入误差 52

3.1 有效数字 53

3.2 准确度与精度 54

3.3 误差的定义 55

3.4 舍入误差 60

3.4.1 数的计算机表示 60

3.4.2 计算机中的算术运算 67

习题 72

第4章 截断误差与泰勒级数 74

4.1 泰勒级数 74

4.1.1 泰勒级数展开的余项 80

4.1.2 用泰勒级数估计截断误差 82

4.1.3 数值微分 86

4.2 误差传播 90

4.2.1 单变量函数 90

4.2.2 多变量函数 91

4.2.3 稳定性与稳定条件 93

4.3 总数值误差 94

4.3.1 数值微分的误差分析 95

4.3.2 数值误差的控制 97

4.4 粗差、形式化误差和数据的不确定性 98

4.4.1 粗差 98

4.4.2 形式化误差 99

4.4.3 数据的不确定性 99

习题 99

第1部分 结束语 103

PT1.4 权衡 103

PT1.5 重要的关系式与公式 105

PT1.6 高级方法与其他参考文献 105

第2部分 方程求根 107

PT2.1 动机 108

PT2.1.1 求根的非计算机方法 108

PT2.1.2 方程求根和工程实践 108

PT2.2 数学背景 110

PT2.3 导读 110

PT2.3.1 范围与预览 111

PT2.3.2 目标 112

第5章 划界法 113

5.1 图解法 113

5.2 二分法 117

5.2.1 终止条件和误差估计 119

5.2.2 二分算法 123

5.2.3 最小化函数的计算量 123

5.3 试位法 124

5.3.1 试位法的缺陷 127

5.3.2 改进的试位法 129

5.4 增量搜索和确定初始估计值 130

习题 130

第6章 开方法 136

6.1 简单定点迭代法 137

6.1.1 收敛性 138

6.1.2 定点迭代算法 141

6.2 牛顿-瑞普逊法 142

6.2.1 终止条件和误差估计 143

6.2.2 牛顿-瑞普逊法的缺点 145

6.2.3 牛顿-瑞普逊算法 147

6.3 正割法 148

6.3.1 正割法和试位法的差异 149

6.3.2 正割法算法 151

6.3.3 改进的正割法 151

6.4 布伦特法 152

6.4.1 逆二次插值法 152

6.4.2 布伦特法的算法 155

6.5 重根 156

6.6 非线性方程组 159

6.6.1 定点迭代法 160

6.6.2 牛顿-瑞普逊法 162

习题 164

第7章 多项式求根 169

7.1 工程和科学中的多项式 169

7.2 多项式计算 172

7.2.1 多项式计算和微分 172

7.2.2 多项式紧缩 172

7.3 传统方法 175

7.4 米勒法 175

7.5 贝尔斯托法 179

7.6 其他方法 184

7.7 使用软件包求根 184

7.7.1 Excel 184

7.7.2 MATLAB 187

7.7.3 Mathcad 190

习题 192

第8章 方程求根案例分析 195

8.1 理想和非理想气体定律(化学/生物工程) 195

8.2 温室气体和雨水(土木/环境工程) 197

8.3 电子电路的设计(电气工程) 200

8.4 管道摩擦(机械/航空航天工程) 202

习题 205

第2部分 结束语 221

PT2.4 权衡 221

PT2.5 重要的关系式与公式 222

PT2.6 高级求根方法与其他参考文献 223

第3部分 线性代数方程组 224

PT3.1 动机 225

PT3.1.1 求解方程组的非计算机方法 225

PT3.1.2 线性代数方程组和工程实践 225

PT3.2 数学背景 227

PT3.2.1 矩阵概念 227

PT3.2.2 矩阵操作规则 229

PT3.2.3 用矩阵形式表示线性代数方程组 233

PT3.3 导读 235

PT3.3.1 范围与预览 235

PT3.3.2 目标 236

第9章 高斯消去法 237

9.1 求解小规模方程组 237

9.1.1 图解法 237

9.1.2 行列式和克莱姆法则 239

9.1.3 未知数消去法 242

9.2 原始高斯消去法 243

9.3 消去法的缺陷 250

9.3.1 除以0的问题 250

9.3.2 舍入误差 250

9.3.3 病态方程组 251

9.3.4 奇异方程组 255

9.4 解求精技术 255

9.4.1 使用更多的有效位 255

9.4.2 交换主元法 256

9.4.3 缩放 258

9.4.4 高斯消去算法 260

9.5 复数方程组 263

9.6 非线性方程组 263

9.7 高斯-约当法 265

9.8 小结 267

习题 267

第10章 LU分解法和矩阵求逆 272

10.1 LU分解 272

10.1.1 LU分解概述 272

10.1.2 高斯消去法的LU分解 274

10.1.3 LU分解算法 279

10.1.4 Crout分解 280

10.2 矩阵求逆 282

10.2.1 计算逆矩阵 282

10.2.2 激励-反应计算 284

10.3 误差分析和方程组条件 285

10.3.1 向量和矩阵的范数 286

10.3.2 矩阵条件数 289

10.3.3 迭代求精 290

习题 291

第11章 特殊矩阵和高斯–赛得尔方法 295

11.1 特殊矩阵 295

11.1.1 三对角方程组 296

11.1.2 Cholesky分解 298

11.2 高斯-赛得尔方法 300

11.2.1 高斯-赛得尔方法的收敛准则 302

11.2.2 使用松弛方法提高收敛性 304

11.2.3 高斯-赛得尔算法 305

11.2.4 高斯-赛得尔方法的问题背景 306

11.3 使用软件包求解线性代数方程组 306

11.3.1 Excel 306

11.3.2 MATLAB 307

11.3.3 Mathcad 309

习题 310

第12章 线性代数方程组案例分析 315

12.1 反应系统的稳态分析(化学/生物工程) 315

12.2 分析静止固定的支架(土木/环境工程) 318

12.3 电阻电路中的电流和电压(电气工程) 321

12.4 弹簧-质量块系统(机械/航空航天工程) 323

习题 326

第3部分 结束语 339

PT3.4 权衡 339

PT3.5 重要的关系式与公式 340

PT3.6 高级方法与其他参考文献 341

第4部分 最优化 342

PT4.1 动机 343

PT4.1.1 非计算机方法及其历史 343

PT4.1.2 最优化和工程实践 344

PT4.2 数学背景 348

PT4.3 导读 349

PT4.3.1 范围与预览 349

PT4.3.2 目标 350

第13章 一维无约束最优化 352

13.1 黄金分割搜索法 353

13.2 二次插值法 359

13.3 牛顿法 361

13.4 布伦特法 362

习题 364

第14章 多维无约束最优化 367

14.1 直接法 367

14.1.1 随机搜索法 368

14.1.2 单变量和模式检索 370

14.2 梯度法 372

14.2.1 梯度和赫赛矩阵 372

14.2.2 最速上升法 377

14.2.3 改进的梯度法 381

习题 383

第15章 约束优化 385

15.1 线性规划 385

15.1.1 标准形 385

15.1.2 图解法 387

15.1.3 单纯形法 390

15.2 非线性约束优化 395

15.3 使用软件包优化求解 395

15.3.1 用Excel求解线性规划问题 395

15.3.2 用Excel求解非线性优化问题 397

15.3.3 用MATLAB求解优化问题 400

15.3.4 用Mathcad求解优化问题 403

习题 404

第16章 最优化案例分析 409

16.1 一个桶的最小成本设计(化学/生物工程) 409

16.2 废水处理的最小成本(土木/环境工程) 413

16.3 电路的最大功率传输(电气工程) 417

16.4 平衡与最小势能(机械/航空航天工程) 420

习题 421

第4部分结束语 433

PT4.4 权衡 433

PT4.5 其他参考文献 434

第5部分 曲线拟合 435

PT5.1 动机 436

PT5.1.1 曲线拟合的非计算机方法 436

PT5.1.2 曲线拟合与工程实践 437

PT5.2 数学背景 438

PT5.2.1 简单统计学 438

PT5.2.2 正态分布 441

PT5.2.3 置信区间估计 442

PT5.3 导读 447

PT5.3.1 范围与预览 447

PT5.3.2 目标 448

第17章 最小二乘回归 450

17.1 线性回归 450

17.1.1 “最佳”拟合准则 451

17.1.2 直线的最小二乘拟合 453

17.1.3 线性回归的误差量化分析 454

17.1.4 线性回归的计算机程序 458

17.1.5 非线性关系的线性化 461

17.1.6 对线性回归的一般讨论 464

17.2 多项式回归 465

17.3 多元线性回归 468

17.4 一般线性最小二乘法 471

17.4.1 线性最小二乘的一般矩阵形式 471

17.4.2 从统计角度分析最小二乘理论 473

17.5 非线性回归 475

习题 479

第18章 插值 484

18.1 牛顿差商插值多项式 484

18.1.1 线性插值 485

18.1.2 二次插值 486

18.1.3 牛顿插值多项式的一般形式 488

18.1.4 牛顿插值多项式的误差 491

18.1.5 牛顿插值多项式的计算机算法 493

18.2 拉格朗日插值多项式 495

18.3 插值多项式的系数 499

18.4 逆插值 500

18.5 进一步讨论 501

18.6 样条插值 503

18.6.1 线性样条 505

18.6.2 二次样条 507

18.6.3 三次样条 509

18.6.4 三次样条的计算机算法 512

18.7 多维插值 513

习题 515

第19章 傅里叶逼近 519

19.1 用正弦函数进行曲线拟合 520

19.2 连续傅里叶级数 526

19.3 频域与时域 530

19.4 傅里叶积分与变换 534

19.5 离散傅里叶变换(DFT) 535

19.6 快速傅里叶变换(FFT) 537

19.6.1 Sande-Tukey算法 538

19.6.2 Cooley-Tukey算法 542

19.7 能量谱 543

19.8 利用软件包进行曲线拟合 544

19.8.1 Excel 544

19.8.2 MATLAB 547

19.8.3 Mathcad 550

习题 551

第20章 曲线拟合案例分析 555

20.1 线性回归与人口模型(化学/生物工程) 555

20.2 用样条估计热传递(土木/环境工程) 558

20.3 傅里叶分析(电气工程) 560

20.4 实验数据分析(机械/航空航天工程) 561

习题 563

第5部分 结束语 580

PT5.4 权衡 580

PT5.5 重要的关系式与公式 581

PT5.6 高级方法与其他参考文献 582

第6部分 数值微分和数值积分 584

PT6.1 动机 585

PT6.1.1 微分和积分的非计算机方法 588

PT6.1.2 工程中的数值微分和数值积分 590

PT6.2 数学背景 593

PT6.3 导读 596

PT6.3.1 范围与预览 596

PT6.3.2 目标 597

第21章 牛顿-柯特斯积分公式 599

21.1 梯形法则 600

21.1.1 梯形法则的误差 602

21.1.2 多应用型梯形法则 605

21.1.3 梯形法则的计算机算法 608

21.2 辛普森法则 610

21.2.1 辛普森1/3法则 610

21.2.2 多应用型辛普森1/3法则 613

21.2.3 辛普森3/8法则 615

21.2.4 辛普森法则的计算机算法 617

21.2.5 高阶牛顿-柯特斯闭型公式 618

21.3 非等距积分 618

21.4 开型积分公式 621

21.5 重积分 622

习题 624

第22章 函数的积分 629

22.1 函数的牛顿-柯特斯算法 630

22.2 龙贝格积分 631

22.2.1 理查森外推法 631

22.2.2 龙贝格积分的算法 634

22.3 自适应积分 636

22.4 高斯求积公式 638

22.4.1 待定系数法 639

22.4.2 两点高斯-勒让德公式的推导 641

22.4.3 多点公式 643

22.4.4 高斯求积公式的误差分析 645

22.5 广义积分 645

习题 648

第23章 数值微分 651

23.1 高精度微分公式 651

23.2 理查森外推法 654

23.3 非等距数据的导数 656

23.4 带误差数据的导数与积分 657

23.5 偏导数 658

23.6 使用软件包计算数值积分/微分 659

23.6.1 MATLAB 659

23.6.2 Mathcad 664

习题 665

第24章 数值积分和数值微分案例分析 670

24.1 利用积分确定总热量(化学/生物工程) 670

24.2 竞赛帆船桅杆上的有效作用力(土木/环境工程) 672

24.3 利用数值积分确定均方根电流(电气工程) 675

24.4 利用数值积分计算功(机械/航空航天工程) 677

习题 681

第6部分 结束语 696

PT6.4 权衡 696

PT6.5 重要的关系式与公式 697

PT6.6 高级方法与其他参考文献 698

第7部分 常微分方程 699

PT7.1 动机 700

PT7.1.1 求解常微分方程的非计算机方法 701

PT7.1.2 常微分方程和工程实践 702

PT7.2 数学背景 703

PT7.3 导读 705

PT7.3.1 范围与预览 706

PT7.3.2 目标 707

第25章 龙格–库塔法 709

25.1 欧拉方法 710

25.1.1 欧拉方法的误差分析 712

25.1.2 欧拉方法的算法 717

25.1.3 高阶泰勒级数方法 719

25.2 欧拉方法的改进 720

25.2.1 修恩法 720

25.2.2 中点方法 725

25.2.3 修恩法和中点方法的计算机算法 727

25.2.4 总结 727

25.3 龙格-库塔法 728

25.3.1 二阶龙格–库塔法 728

25.3.2 三阶龙格–库塔法 733

25.3.3 四阶龙格–库塔法 733

25.3.4 高阶龙格–库塔法 735

25.3.5 龙格–库塔法的计算机算法 737

25.4 方程组 737

25.4.1 欧拉方法 738

25.4.2 龙格-库塔法 739

25.4.3 求解常微分方程组的计算机算法 740

25.5 自适应龙格-库塔法 742

25.5.1 自适应龙格-库塔或步长-对分法 743

25.5.2 龙格-库塔-费尔贝格法 744

25.5.3 步长控制 746

25.5.4 计算机算法 747

习题 749

第26章 刚性和多步法 753

26.1 刚性 753

26.2 多步法 757

26.2.1 非自启动修恩方法 758

26.2.2 步长控制和计算机程序 765

26.2.3 求积公式 766

26.2.4 高阶多步法 772

习题 776

第27章 边值和特征值问题 779

27.1 边值问题的通用方法 780

27.1.1 打靶法 780

27.1.2 有限差分法 783

27.2 特征值问题 786

27.2.1 数学背景 786

27.2.2 物理背景 786

27.2.3 边值问题 789

27.2.4 多项式方法 792

27.2.5 乘幂法 794

27.2.6 其他方法 797

27.3 使用软件包求解常微分方程和特征值问题 798

27.3.1 Excel 798

27.3.2 MATLAB 798

27.3.3 Mathcad 802

习题 803

第28章 常微分方程案例分析 807

28.1 利用常微分方程分析反应堆的瞬态反应(化学/生物工程) 807

28.2 追捕模型和混沌(土木/环境工程) 813

28.3 模拟电路的瞬变电流(电气工程) 816

28.4 摆动的钟摆(机械/航空航天工程) 821

习题 824

第7部分 结束语 841

PT7.4 权衡 841

PT7.5 重要的关系式与公式 842

PT7.6 高级方法与其他参考文献 844

第8部分 偏微分方程 845

PT8.1 动机 846

PT8.1.1 偏微分方程和工程实践 847

PT8.1.2 求解偏微分方程的非计算机方法 849

PT8.2 导读 849

PT8.2.1 范围和与预览 849

PT8.2.2 目标 850

第29章 有限差分法：椭圆型方程 852

29.1 拉普拉斯方程 852

29.2 求解方法 854

29.2.1 拉普拉斯差分方程 855

29.2.2 李布曼方法 856

29.2.3 二级变量 858

29.3 边界条件 860

29.3.1 导数边界条件 860

29.3.2 不规则边界 862

29.4 控制体积法 866

29.5 求解椭圆型方程的软件 868

习题 869

第30章 有限差分法：抛物型方程 872

30.1 热传导方程 872

30.2 显式法 873

30.2.1 收敛性和稳定性 875

30.2.2 导数边界条件 876

30.2.3 高阶时间逼近 877

30.3 简单的隐式法 877

30.4 克兰克-尼科尔森法 880

30.5 二维空间上的抛物型方程 883

30.5.1 标准显式和隐式格式 883

30.5.2 ADI方法 884

习题 886

第31章 有限元法 889

31.1 通用方法 890

31.1.1 剖分 890

31.1.2 元素方程 890

31.1.3 装配 893

31.1.4 边界条件 893

31.1.5 求解 893

31.1.6 后处理 893

31.2 有限元法在一维情况下的应用 893

31.2.1 剖分 895

31.2.2 元素方程 895

31.2.3 装配 900

31.2.4 边界条件 902

31.2.5 求解 902

31.2.6 后处理 902

31.3 二维问题 903

31.3.1 剖分 903

31.3.2 元素方程 903

31.3.3 边界条件和装配 905

31.3.4 求解和后处理 905

31.4 使用软件包求解偏微分方程 906

31.4.1 Excel 906

31.4.2 MATLAB 907

31.4.3 Mathcad 908

习题 909

第32章 偏微分方程案例分析 912

32.1 反应堆的一维质量守恒(化学/生物工程) 912

32.2 平板的挠曲(土木/环境工程) 916

32.3 二维静电场问题(电气工程) 918

32.4 用有限元法求解弹簧系统(机械/航空航天工程) 921

习题 924

第8部分 结束语 928

PT8.3 权衡问题 928

PT8.4 重要的关系式与公式 928

PT8.5 高级方法与其他参考文献 929

附录A 傅里叶级数 930

附录B 学习使用MATLAB 932

附录C 学习使用Mathcad 939

本书是广大读者殷切期待的经典著作，它采用极富创意的全新方式，引导读者轻松掌握数值方法的相关知识。它浓墨重彩地描述包括MATLAB、Excel和MathCAD在内的主流软件包，以帮助读者驾轻就熟地运用这些计算工具；它列举所有工程领域的精选示例和案例研究，使读者能将所学的新知识应用于各自的工作领域。

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