数学物理方法与复数特殊函数

第1章 绪论

1.1 引言

1.2 基本概念

1.3 线性偏微分方程基本性质

1.4 二阶线性偏微分方程

1.5 定解条件和定解问题

1.6 适定性

1.7 叠加原理

1.8 傅立叶级数

1.8.1 单重傅立叶级数

1.8.2 二重傅立叶级数

1.8.3 三重傅立叶级数

1.9 积分变换

1.9.1 傅立叶积分变换

1.9.2 拉普拉斯变换

1.9.3 梅林变换

1.9.4 汉克尔变换

1.9.5 勒让德变换

1.10 伽马函数

第2章 直角坐标系下的分离变量法

2.1 概述

2.2 分离变量法实施过程

2.2.1 两端固定弦的振动问题

2.2.2 矩形域内的各向同性热传导稳态问题

2.2.3 二维矩形城内各向同性热传导非稳态问题

第3章 直（斜）角坐标系下的偏微分方程复数分离变量法（复数级数方法）

3.1 概述

3.2 直角坐标下偏微分方程复数级数方法实施过程

3.2.1 各向异性矩形板横向弯曲问题

3.2.2 矩形域各向异性稳态热传导复数级数方法解

3.3 斜角坐标下偏微分方程复数级数方法实施过程

3.3.1 各向异性斜形板横向弯曲问题

3.3.2 各向异性斜形域稳态溫度场解析解

3.4 数学物理实数化原理

3.5 偏微分方程复数级数方法实施要点

第4章 贝塞尔函数方法

4.1 贝塞尔方程的导出

4.2 贝塞尔函数的递推公式

4.3 贝塞尔级数展开

4.4 变形贝塞尔函数

4.5 Kelvin函数

4.6 球贝塞尔函数

4.7 变形球贝塞尔函数

第5章 圆域各向异性非稳态热传导方程解析——复数柱多项式与复数柱函数

5.1 极坐标下的各向异性热传导方程

5.2 各向异性圆域稳态温度场解析

5.3 Zip微分方程，复数柱多项式与复数柱函数和非稳态温度场解析解

5.3.1 Zip微分方程，复数柱多项式与复数柱函数

5.3.2 给定温度边界条件的实心圆柱非稳态热传导解析解

5.3.3 复数多项式函数Zip（J）初步分析

5.3.4 计算程序

5.3.5 数值实验

5.3.6 复数柱函数解实数化证明

5.4 复数柱函数展开定理与复数柱多项式研究

5.4.1 复数柱函数展开定理证明

5.4.2 Zip（x）多项式与贝塞尔函数的关系

5.4.3 Zip（x）多项式的微分公式、递推关系式和积分公式

5.5 第二类复数柱多项式定义及其递推公式

5.6 第三类复数柱多项式定义及其递推公式

5.7 复数柱多项式函数渐近展开

5.8 其他边界条件下的圆域非稳态热传导问题求解

5.8.1 给定第二类边界条件的实心圆域非稳态热传导解

5.8.2 侧面具有第三类边界条件的各向异性实心柱体热传导非稳态解

……

第6章 各向异性圆柱体稳态热传导方程柱对称问题——复数柱对称函数

第7章 三维各向异性圆柱稳态热传导方程——系列变形复数柱多项式和复数函数

第8章 三维各向异性圆柱体非稳态热传导方程——复数柱体函数

第9章 表面与环境换热的各向异性圆薄板稳态热传导方程——变形复数球柱多项式与变形复数球柱函数

第10章 各向异性二维圆薄板非稳态热传导方程——复数球柱多项式与复数球柱函数

第11章 各向异性圆柱薄壳稳态热传导方程——一般复数柱面函数

第12章 各向异性圆柱薄壳非稳态热传导——参数复数柱面多项式与参数复数柱面函数

第13章 球坐标各向同性热传导方程——实数幂级数方法和勒让德级数

第14章 各向异性球带面稳态温度场方程——复数球多项式与复数球面函数

第15章 球面与外界换热的各向异性球带面稳态温度场方程——参数复数球多项式与参数复数球面函数

第16章 各向异性球带面稳态热传导方程——缔合复数球多项式与缔合复数球面函数

第17章 表面与外界换热的各向异-眭球带面稳态热传导方程——参数缔合复数球多项式与复数球面函数

第18章 各向异性薄圆锥壳热传导问题解析

第19章 与外界换热的各向异性薄圆锥壳稳态热传导方程——变形复数球柱函数应用

第20章 各向异性薄圆锥壳非稳态热传导方程——复数球柱函数应用

第21章 复数柱函数系列积分变换

第22章 各向异性波动方程解析解

参考文献

《数学物理方法与复数特殊函数》以数学物理方程解析求解为背景，系统介绍了求解直角坐标、斜交坐标系和极坐标、圆柱坐标、球坐标下数学物理方程的基本方法，阐述了直角坐标系、斜交坐标系下求解数学物理方程的复数级数法（复数分离变量法），提出并研究分析了求解柱（极）坐标、球坐标下各向异性数学物理方程的复数柱多项式与复数柱函数、复数柱对称函数、变形复数柱多项式、复数柱体函数、复数球柱多项式、变形复数球柱多项式、B型柱多项式、C型复数柱多项式、复数一般各向异性柱多项式与变形复数球柱函数、复数球柱函数、变形复数柱面函数、复数柱面函数、复数球多项式与复数球面函数、参数复数球多项式与参数复数球面函数、连带复数球多项式与连带复数球面函数、参数连带复数球多项式与参数连带复数球面函数等系列复数特殊函数；提出了Zip方程，变形Zip方程，球Zip方程，变形球Zip方程，各向异性柱对称方程，B型各向异性柱方程，C型各向异性柱方程，一般各向异性柱方程等；提出并证明了复数柱函数展开定理、复数柱体函数展开定理、复数球柱函数展开定理、复数柱面函数展开定理等；提出了复数球面函数展开法，连带复数球面函数展开法，参数连带复数球面函数展开法等；提出了数学物理方法中解的实数化原理；应用系列复数特殊函数完成了对各向异性热传导偏微分方程在二维、三维和稳态、非稳态状态下圆形域、柱体和球面域内相关数学物理问题的求解，理论分析证明和数值计算均表明相关工作是成功。此外，针对柱坐标下的数学物理方法提出了系列复数柱函数变换，并求解了各向异性波动方程。作者发现：经典贝塞尔函数系列、勒让德函数、实数幂级数、汉克尔变换等是《数学物理方法与复数特殊函数》提出了系列复数特殊函数、变换特例，在处理各向同性相关数学物理问题时，经典贝塞尔函数、实数幂级数和勒让德函数、汉克尔变换等与作者新提出的系列复数特殊函数、函数变换是一致的，新的系列复数特殊函数、函数变换是更广义的方法，可以处理更为一般的各向异性数学物理问题和偏微分方程。
　　《数学物理方法与复数特殊函数》可作为数学、物理和工程领域相关科研教学人员与研究生、本科生参考。

《数学物理方法与复数特殊函数》以数学物理方程解析求解为背景，系统介绍了求解直角坐标、斜交坐标系和极坐标、圆柱坐标、球坐标下数学物理方程的基本方法，阐述了直角坐标系、斜交坐标系下求解数学物理方程的复数级数法。《数学物理方法与复数特殊函数》可作为数学、物理和工程领域相关人员与研究生、本科生参考。