数论、群论、有限域

《数论、群论、有限域》

第1章集合与函数

1.1集合论基础

1.2函数、置换的循环分解

1.2.1函数的基本概念和一般性质

1.2.2置换的循环分解

1.3对合映射不动点定理

1.4等价关系

1.5容斥原理、鸽巢原理和多项式定理

1.6习题

第2章整除性理论

2.1整数的整除性

2.2最大公约数和最小公倍数

2.3连分数

2.3.1实数的连分数表示

《数论、群论、有限域》

第1章集合与函数

1.1集合论基础

1.2函数、置换的循环分解

1.2.1函数的基本概念和一般性质

1.2.2置换的循环分解

1.3对合映射不动点定理

1.4等价关系

1.5容斥原理、鸽巢原理和多项式定理

1.6习题

第2章整除性理论

2.1整数的整除性

2.2最大公约数和最小公倍数

2.3连分数

2.3.1实数的连分数表示

2.3.2实数的近似分数

2.3.3近似分数的既约性

2.3.4近似分数的误差估计

2.3.5整数线性组合ax-by=1的生成

2.4素数、二平方定理、算术基本定理

.2.5习题

第3章数论函数

3.1［x］与{x}

3.2积性函数

3.3因子数τ(n)与因子和s(n)

3.4 euler函数φ(n)

3.5 mobius函数和mobius反演定理

3.5.1 mobius函数及其性质

3.5.2 mobius反演定理

3.6习题

第4章不定方程

4.1二元一次不定方程

4.2三元一次不定方程

4.3勾股数定理

4.4二元二次不定方程x2+2y2=z

4.5二元二次不定方程 x2-dy2=n

4.5.1一般性质

4.5.2 pell方程

4.5.3二元二次不定方程x2-dy2=n求解

4.6习题

第5章同余式

5.1同余式的定义与性质

5.2完全剩余系和缩剩余系

5.3一元一次同余方程

5.4一元一次同余方程组、中国剩余定理

5.5一元多项式同余方程

5.6习题

第6章二次剩余

6.1二次剩余的基本定理

6.2 legendre符号

6.3 jacobi符号

6.4习题

第7章原根和离散对数

7.1整数a关于模m的乘法阶

7.2原根的概念和基本性质

7.3原根的基本定理

7.4离散对数

7.5公钥密码

7.5.1 rsa公钥密码算法

7.5.2 rabin二次剩余方案

7.5.3 elgamal算法

7.6习题

第8章群论

8.1半群、商半群、半群同态

8.1.1半群的基本概念

8.1.2亚群中元素的阶

8.1.3半群上的同余关系、商半群

8.1.4半群同态

8.2群的基本概念

8.3子群、正规子群、商群

8.4群的同态和同构

8.5循环群和abel群

8.6 burnside引理和polya定理

8.6.1 burnside引理

8.6.2 polya定理

8.7 sylow定理

8.8习题

第9章环、域与多项式

9.1环与整环

9.2交换整环上的mobius反演定理

9.3域的基本概念

9.4域的同构

9.5素环、域的特征

9.6线性空间和线性变换

9.7子域

9.8域上的多项式环

9.8.1多项式和多项式函数

9.8.2 euclid除法和多项式同余

9.8.3最大公因子

9.9代数基本定理、形式导数

9.10既约多项式

9.11域的扩张

9.12多项式环的分式域

9.13习题

第10章有限域

10.1有限域的概念、本原元

10.2有限域的子域

10.3有限域上变换的多项式函数表示

10.4有限域中元素关于子域的最小多项式

10.4.1非零元素的次数和共轭元

10.4.2元素关于子域的最小多项式

10.5有限域上的既约多项式

10.6有限域的存在性和唯一性

10.7有限域中元素的迹和范

10.8有限域上的线性变换

10.9有限域关于子域的基

10.9.1多项式基和正规基

10.9.2对偶基

10.9.3伪对偶基和弱对偶基

10.10有限域上若干方程的求解

10.11有限域上的分圆多项式

10.12有限域上多项式的因式分解

10.13有限域上的置换多项式

10.14习题

第11章有限域上的线性递归序列

11.1线性递归序列的基本理论

11.2有限域上线性反馈移位寄存器序列的周期性

11.3有限域上周期序列的迹表示

11.3.1特征多项式为既约多项式的情形

11.3.2特征多项式无重因子的情形

11.3.3一般情形

11.4有限域上的m-序列

11.5有限域上周期序列的线性复杂度

11.6习题

索引

参考文献

《数论、群论、有限域》系统地研究了基础数论、群论和有限域理论。全书分为11章： 集合与函数，整除性理论，数论函数，不定方程，同余式，二次剩余，原根和离散对数，群论，环、域与多项式，有限域，有限域上的线性递归序列。
　　《数论、群论、有限域》包含了作者多年来的教学经验和研究成果，许多结果是首次公开发表。全书内容丰富，体系完整，论证严谨，行文流畅，深入浅出，特色鲜明。本书可以作为密码学、数学、信息对抗、计算机科学与技术及相关专业研究生和本科生的教材，也可作为其他各专业、各层次的师生和工程技术人员的参考书或自学用书。