辛几何讲义

第1章导论和背景知识

1.1一些历史

1.2线性辛几何

1.3辛群

1.4线性hamilton理论

1.5gaussian光学中的hamilton方法

第2章辛群

2.1基础知识回顾

2.2极分解的使用

2.3辛群的坐标描述

2.4辛矩阵的特征值

2.5 sp(ν)的lie代数

2.6sp(ν)中元素的极分解

2.7 sp(ν)的cartan分解

2.8sp(ν)的紧子群

第1章导论和背景知识

1.1一些历史

1.2线性辛几何

1.3辛群

1.4线性hamilton理论

1.5gaussian光学中的hamilton方法

第2章辛群

2.1基础知识回顾

2.2极分解的使用

2.3辛群的坐标描述

2.4辛矩阵的特征值

2.5 sp(ν)的lie代数

2.6sp(ν)中元素的极分解

2.7 sp(ν)的cartan分解

2.8sp(ν)的紧子群

2.9sp(ν)的gaussian生成元

第3章线性辛范畴

3.1范畴理论

3.2集合和关系

3.3范畴化“点”

3.4线性辛范畴

3.5 linsym范畴和辛群

第4章辛向量空间的lagrangian子空间和进一步的hamilton方法

4.1与有限个lagrangian子空间横截的lagrangian子空间

4.2l(ν)上的sp(ν)作用

4.3生成函数——hamilton想法的一个简单例子

第5章微分运算的回顾、广义weil恒等式、moser技巧和

darboux型定理

5.1超代数

5.2微分形式

5.3d算子

5.4导子

5.5拉回

5.6lie导数

5.7weil公式

5.8广义weil公式

5.9链同伦

5.10moser技巧

第6章辛流形和hamiltonlan力学

6.1辛流形的定义

6.2poisson括号

6.3poisson代数

6.4基本的局部例子

6.5余切丛

第7章余切丛上的hamiltonian力学

7.1余切丛的回顾

7.2余切丛上的hamiltonian力学：续

7.3euler-lagrange方程

7.4余切丛上的变分计算

7.5一些riemannian几何

7.6另一个变分问题——hamilton原理

7.7附录：作为lagrangian子流形的legendre变换

第8章约化

8.1 frobenius定理

8.2闭形式的约化

8.3淹没的水平和基本形式

第9章辛群作用和力矩映射

9.1lie群背景知识和记号

9.2辛作用

9.3hamiltonian作用及其力矩映射

第10章力矩映射续和约化

10.1力矩映射的导数

10.2kostant-souriau形式

10.3力矩映射的导数：续

10.4力矩映射下余伴随轨道的逆像和约化

第11章集体运动和半直积

11.1集体运动的抽象定义

11.2解集体hamiltonian的hamilton方程

11.3半直积

11.4集体和不变hamiltonian

第12章marie常秩嵌入定理、力矩映射的正则形式和辛诱导

12.1紧群作用

12.2 marie常秩嵌入定理

12.3正则形式和duistermaat-heckman定理

12.4t*g的重生性质和辛诱导

12.5辛诱导

第13章环面作用的凸性定理

13.1局部凸性

13.1.1回顾环面情形下力矩映射的正则形式

13.2一些bott-morse理论

13.3凸性定理的证明

13.4力矩多面体的精细结构

第14章hamiltonian配边、局部化和线性化

14.1 liouville测度和duistermaat-heckman测度

14.2可能是退化的二形式的poisson代数

14.3duistermaat-heckman积分

14.4配边的使用

14.5恰当hamiltonian配边

14.6线性化定理

第15章线性化定理的应用

15.1导引

15.2线性环面作用及其duistermaat-heckman测度

15.3线性化定理的右边部分

15.4带孤立不动点的环面作用的duistermaat-heckman测度

第16章极小偶对

16.1主丛

16.2联络形式和力矩映射的配对

16.3丛的拉回

16.4曲率及其应用

《辛几何讲义》是美国著名数学家shlomo
sternberg于2010年在清华大学教授辛几何的讲义，分为两个部分。第一部分(第1章～第10章)介绍了辛群、辛范畴、辛流形和kostant-souriau定理等内容；第二部分(第11章～第16章)分别讨论了marle常秩嵌入定理、环面作用的凸性定理、hamiltonian线性化定理和极小偶对。

　　《辛几何讲义》可供从事辛几何和微分几何相关领域研究的学者参考，也可作为高年级本科生和研究生的教材和参考书。