实分析

Foreword

Introduction

1Fourierseries:completion

2Limitsofcontinuousfunctions

3Lengthofcurves

4Differentiationandintegration

5Theproblemofmeasure

Chapter1.MeasureTheory

1Preliminaries

2Theexteriormeasure

3MeasurablesetsandtheLebesguemeasure

4Measurablefunctions

4.1Definitionandbasicproperties

4.2Approximationbysimplefunctionsorstepfunctions

4.3Littlewoodsthreeprinciples

5*TheBrunn-Minkowskiinequality

6Exercises

7Problems

Chapter2.IntegrationTheory

1TheLebesgueintegral:basicpropertiesandconvergencetheorems

2ThespaceL1ofintegrablefunctions

3Fubinistheorem

3.1Statementandproofofthetheorem

3.2ApplicationsofFubinistheorem

4*AFourierinversionformula

5Exercises

6Problems

Chapter3.DifferentiationandIntegration

1Differentiationoftheintegral

1.1TheHardy-Littlewoodmaximalfunction

1.2TheLebesguedifferentiationtheorem

2Goodkernelsandapproximationstotheidentity

3Differentiabilityoffunctions

3.1Functionsofboundedvariation

3.2Absolutelycontinuousfunctions

3.3Differentiabilityofjumpfunctions

4Rectifiablecurvesandtheisoperimetricinequality

4.1Minkowskicontentofacurve

4.2*Isoperimetrieinequality

5Exercises

6Problems

Chapter4.HilbertSpaces:AnIntroduction

1TheHilbertspaceL2

2Hilbertspaces

2.1Orthogonality

2.2Unitarymappings

2.3Pre-Hilbertspaces

3FourierseriesandFatoustheorem

3.1Fatoustheorem

4Closedsubspaeesandorthogonalprojections

5Lineartransformations

5.1LinearflmetionalsandtheRieszrepresentationthe-orem

5.2Adjoints

5.3Examples

6Compactoperators

7Exercises

8Problems

Chapter5.HilbertSpaces:SeveralExamples

1TheFouriertransformonL2

2TheHardyspaceoftheupperhalf-plane

3Constantcoefficientpartialdifferentialequations

3.1Weaksolutions

3.2Themaintheoremandkeyestimate

4*TheDirichletprinciple

4.1Harmonicfunctions

4.2TheboundaryvalueproblemandDiriehletsprinciple

5Exercises

6Problems

Chapter6.AbstractMeasureandIntegrationTheory

1Abstractmeasurespaces

1.1ExteriormeasuresandCarathdodory’stheorem

1.2Metricexteriormeasures

1.3Theextensiontheorem

2Integrationonameasurespace

3Examples

3.1ProductmeasuresandageneralFubinitheorem

3.2Integrationformulaforpolarcoordinates

3.3BorelmeasuresonRandtheLebesgue-Stieltjesin.tegral

4Absolutecontinuityofmeasures

4.1Signedmeasures

4.2Absolutecontinuity

5*Ergodictheorems

5.1Meanergodictheorem

5.2Maximalergodictheorem

5.3Pointwiseergodictheorem

5.4Ergodicmeasurepreservingtransformations

6*Appendix：thespectraltheorem

6.1Statementofthetheorem

6.2Positiveoperators

6.3Proofofthetheorem

6.4Spectrum

7Exercises

8Problems

Chapter7.HausdorffMeasureandFractals

1Hansdorffmeasure

2Hausdorffdimension

2.1Examples

2.2Self-similarity

3Space-fillingcurves

3.1Quarticintervalsanddyadicsquares

3.2DyadiccOrresDOndence

3.3ConstructionofthePeanomapping

4*Besicovitchsetsandregularity

4.1TheRadontransform

4.2Regularityofsetswhend≥3

4.3Besicovitchsetshavedimension2

4.4ConstructionofaBesicovitchset

5Exercise

6Problems

NotesandReferences

Bibliography

SymbolGlossary

Index

　　本书由在国际上享有盛誉普林斯大林顿大学教授Stein等撰写而成，作为一部优秀的教材，内容不仅涵盖了分析学的基本内容和技巧，还介绍了一些从事其他领域的研究工作所必需的基础知识。此外，教材中的大量习题，能够进一步拓展思维，从而易于更加深入地了解这些内容背后的真实想法。本书适用于理工类专业及相关专业的研究生。　　本书由在国际上享有盛誉普林斯大林顿大学教授Stein等撰写而成，是一部为数学及相关专业大学二年级和三年级学生编写的教材，理论与实践并重。为了便于非数学专业的学生学习，全书内容简明、易懂,读者只需掌握微积分和线性代数知识。关于本书的详细介绍，请见“影印版前言”。　　本书已被哈佛大学和加利福尼亚理工学院选为教材。与本书相配套的教材《傅立叶分析导论》和《复分析》也已影印出版。【作者简介】　　Stein，在国际上享有盛誉，现任美国普林斯顿大学数学系教授。他是当代分析，特别是调和分析和分析领域领袖人物之一。古典调和分析最困难问题之一是推广到多维。他是多维欧氏调和分析的创造者之一，为此他发展了许多先进工具如奇异积分、Radon变换、极大函数等。他还发展了多个实变元的Hardy空间理论，推广了1971年F.John和L.Nirenberg的重要发现：即Hardy空间与BMO空间的对偶。在群上的调和分析方面也有贡献，例如同R.Kunze一起发现所谓Kunze-Stein现象。除此之外，他对多复变问题也做出了突出成绩。除了研究工作之外，他的许多著作成为影响学科发展的重要参考文献。为此，他荣获1984年美国数学会在论述方面的Steele奖。由于他的成就，他在1974年被选为美国国家科学院院士，1982年被选为美国文理学院院士，1993年获得瑞士科学院颁发的Schock奖。1999年获得世界性Wolf数学奖。