高等代数

第1章行列式

1．1数域

1．2二、三阶行列式

1．3n阶行列式的定义

1．4行列式的性质

1．5行列式展开定理

1．5．1按一行(列)展开公式

1．5．2Laplace定理

1．6Cramer法则

1．6．1线性方程组的概念

1．6．2Cramer法则

习题1

第2章矩阵及其运算

2．1矩阵的概念

2．2矩阵的基本运算

2．2．1矩阵的线性运算

2．2．2矩阵乘法

2．2．3方阵的幂

2．2．4矩阵的转置

2．2．5方阵的行列式

2．2．6共轭矩阵

2．3逆矩阵

2．4分块矩阵

习题2

第3章矩阵的初等变换

3．1矩阵的秩

3．2矩阵的初等变换

3．3求解线性方程组的消元法

3．4初等矩阵

3．5分块初等矩阵及其应用

习题3

第4章向量组的线性相关性

4．1向量及其运算

4．2向量组的线性相关性

4．2．1线性相关与线性无关

4．2．2线性相关性的判别定理

4．3向量组的秩与极大无关组

4．3．1秩与极大无关组

4．3．2等价向量组

4．4向量空间

4．4．1向量空间的概念

4．4．2正交基

4．5线性方程组解的结构

4．5．1齐次线性方程组

4．5．2非齐次线性方程组

4．5．3空间三个平面的位置

习题4

第5章多项式

5．1一元多项式及其运算

5．1．1一元多项式的概念

5．1．2多项式的运算

5．2整除的概念

5．2．1带余除法

5．2．2整除的概念

5．3最大公因式

5．4因式分解定理

5．5重因式

5．6多项式函数

5．7复系数与实系数多项式的因式分解

5．7．1复系数多项式的因式分解

5．7．2实系数多项式的因式分解

5．8有理系数多项式

5．8．1本原多项式

5．8．2整系数多项式的有理根

5．8．3有理系数多项式的因式分解

5．9多元多项式

5．10对称多项式

5．10．1对称多项式的概念与性质

5．10．2对称多项式的应用

5．11二元高次方程组

5．11．1结式

5．11．2二元高次方程组

习题5

第6章矩阵的相似变换

6．1特征值与特征向量

6．2相似对角化

6．2．1相似矩阵

6．2．2相似对角化

6．3实对称矩阵的相似矩阵

6．3．1实对称矩阵的特征值与特征向量

6．3．2正交矩阵

6．3．3实对称矩阵正交相似于对角矩阵

习题6

第7章二次型

7．1二次型及其矩阵表示

7．2化二次型为标准形

7．2．1正交变换法

7．2．2配方法

7．2．3初等变换法

7．3正、负定二次型

7．3．1惯性定理

7．3．2正、负定二次型

7．3．3多元函数极值的判定

习题7

第8章λ-矩阵

8．1λ-矩阵的概念

8．2λ-矩阵的等价标准形

8．3不变因子

8．4初等因子

8．5矩阵相似的条件

8．6矩阵的Jordan标准形

8．7矩阵的有理标准形

8．7．1Frobenius标准形

8．7．2Jacobson标准形

8．8Hamilton-Cayley定理

8．8．1Hamilton-Cayley定理

8．8．2最小多项式

习题8

第9章线性空间

9．1映射与变换

9．2线性空间的定义与基本性质

9．3基、维数与坐标

9．3．1线性相关性

9．3．2基与维数

9．3．3坐标

9．4基变换与坐标变换

9．5线性空间的同构

9．6线性子空间

9．7子空间的交、和与直和

习题9

第10章线性映射

10．1线性映射的概念

10．2线性映射的值域与核

10．3线性映射的运算

10．4线性映射的矩阵

10．5化简线性变换的矩阵

10．5．1特征值与特征向量

10．5．2化简线性变换的矩阵

10．6不变子空间

习题10

第11章欧氏空间

11．1欧氏空间的概念

11．2规范正交基

11．3正交子空间

11．4正交变换与对称变换

11．4．1正交变换

11．4．2对称变换

11．5广义逆矩阵

11．5．1广义逆矩阵的概念

11．5．2广义{1}逆

11．5．3Moore-Penrose逆

11．5．4Moore-Penrose逆的应用

习题11

第12章酉空间

12．1酉空间的概念

12．2酉相似下的标准形

12．3酉变换与Hermite变换

12．4Hermite二次型

12．5奇异值分解

习题12

第13章双线性函数

13．1线性函数

13．2对偶空间

13．3双线性函数

13．4对称与反对称双线性函数

习题13

第14章基本代数结构简介

14．1代数运算

14．2群及其基本性质

14．2．1群的定义与例

14．2．2群的基本性质

14．2．3子群

14．3环与域

14．3．1环与子环

14．3．2域和子域

习题14

习题答案与提示

　　本书由14章内容组成，研究对象从比较具体的行列式、矩阵、向量、线性方程组、多项式到比较抽象的线性空间、线性变换、欧氏空间、酉空间、双线性函数等，本书便于教学与自学，可作为高等院校数学类各专业相关课程使用的教材，也可供工程技术人员和高校教师参考。　　“高等代数”是高等院校数学类各专业本科生的一门重要数学基础课．在高等教育已由精英化转为大众化教育的形势下，编写一本内容丰富、结构合理、易教易学、注重应用的高等代数教材是非常必要的。　　本书共分14章，几乎包含了高等代数的全部内容，研究对象从比较具体的行列式、矩阵、向量、线性方程组、多项式、相似变换、二次型、λ－矩阵到比较抽象的线性空间、线性变换、欧氏空间、酉空间、双线性函数，进而介绍近世代数的有关内容，这一过程符合代数学的发展，也符合人类认识事物的规律，即从具体到抽象再到具体（思维中的具体）的过程。为了分散难点、易教易学，书中对各章内容的许多细节处理颇具特色，并引入许多实例介绍了高等代数的应用。各章后均配有适量的习题，书后附有参考答案。　　讲完全书约需128学时。　　本书便于教学与自学，可作为高等院校数学类各专业相关课程使用的教材，也可供工程技术人员和高校教师参考。