计算几何中的几何偏微分方程方法

《信息与计算科学丛书》序

前言

符号说明

第1章微分几何基础

1.1曲面的参数表示

1.2曲面的曲率

1.3曲面的基本方程

1.4Gauss-Bonnet定理

1.5曲面上的微分算子

1.6微分算子的基本性质

1.7作用于曲面和法向上的微分算子

1.8曲面的整体性质

1.9水平集曲面的微分几何

第2章参数形式几何偏微分方程的构造

2.1曲面的变分

2.2二阶欧拉-拉格朗日算子

2.3四阶欧拉-拉格朗日算子

2.4六阶欧拉-拉格朗日算子

2.5其他欧拉-拉格朗日算子

2.6梯度流

2.7其他几何流

2.8注记

2.9相关工作

第3章水平集形式几何偏微分方程的构造

3.1水平集的变分

3.2二阶欧拉-拉格朗日算子

3.3四阶欧拉-拉格朗日算子

3.4六阶欧拉-拉格朗日算子

3.5水平集曲面的L2梯度流

3.6水平集曲面的H-1梯度流

第4章微分几何算子的离散化

4.1三角形网格上离散LB算子及其收敛性

4.2四边形网格上离散LB算子及其收敛性

4.3三角形网格上高斯曲率的离散化及其收敛性

4.4四边形网格上离散高斯曲率及其收敛性

4.5微分几何算子的相容性离散化

4.6相关工作

第5章离散曲面设计的类有限差分法及其应用

5.1引言

5.2特殊形式的2k阶几何偏微分方程

5.3一般形式的四阶几何偏微分方程

5.4极小平均曲率变差流

5.5关于收敛性的注记

第6章连续曲面设计的类有限差分法及其应用

6.1几何偏微分方程Bezier曲面的构造

6.2几何偏微分方程样条曲面的构造

6.3相关工作

第7章离散曲面设计的有限元方法及其应用

7.1曲面上的Sobolev空间

7.2有限元空间

7.3二阶几何偏微分方程

7.4四阶几何偏微分方程

7.5六阶几何偏微分方程

7.6相关工作

第8章连续曲面设计的有限元方法及其应用

8.1几何偏微分方程Bezier曲面

8.2几何偏微分方程样条曲面的设计

8.3Bezier和样条曲面的规整化

8.4关于有限差分法与有限元方法

8.5附录：数值积分

第9章曲面设计的水平集方法及其应用

9.1引言

9.2预备知识

9.3局部水平集方法

9.4水平集方法在几何设计中的应用

参考文献

索引

　　计算几何中的几何偏微分方程方法是一个具有广阔发展前景且非常新颖的研究领域，目前仍处在初创阶段，尚无这方面的专门著作出版。本书介绍的内容是作者在这一领域的研究结果和工作体会，编者希望把几何偏微分方程方法发展成为计算几何领域中的一个系统而完整的方法。但目前的工作仍不够深入系统，在本书的各章中，将随时提出一些亟待解决的问题，供有兴趣的读者进一步研究。本书涵盖了微分几何基础、参数形式几何偏微分方程的构造、水平集形式几何偏微分方程的构造、微分几何算子的离散化、离散曲面设计的类有限差分法及其应用、连续曲面设计的类有限差分法及其应用等内容。　　本书的主要内容包括几何偏微分方程的构造方法、各种微分几何算子的离散化方法及其离散格式的收敛性、几何偏微分方程数值求解的有限差分法、有限元法以及水平集方法，还包括几何偏微分方程在曲面平滑、曲面拼接、Ⅳ边洞填补、自由曲面设计、曲面重构、曲面恢复、分子曲面构造以及三维实体几何形变中的应用。　　本书内容新颖、文字简练、可读性强，可作为理工科院校的应用数学、计算数学、计算几何、计算机辅助设计以及计算机图形学等专业本科生和研究生的教材，也可作为在上述领域中从事研究工作的广大科技工作者的参考书。