微分几何引论

绪论

第一章 张量和外形式

1．1向量空间和对偶向量空间

1．1．1 n维向量空间

1．1．2对偶向量空间

1．1．3 Einstein和式约定

1．1．4向量空间及其对偶向量空间的基底变换

1．1．5 向量空间及其对偶向量空间中元素的分量的变换公式

§1．2张量

1．2．1协变张量

1．2．2 1阶反变、r阶协变的张量

1．2．3 r阶反变、s阶协变的张量

1．2．4张量的缩并

1．2．5欧氏向量空间

§1．3外形式

1．3．1 r次外形式

1．3．2广义Kronecker_6记号

1．3．3反对称化运算

1．3．4外积

1．3．5 r次外形式空间八rV*的基底

1．3．6外多项式

1．3．7线性映射的诱导映射

习题一

第二章 微分流形

§2．1拓扑流形

2．1．1拓扑结构

2．1．2拓扑基

2．1．3连续函数和连续映射

2．1．4几个拓扑性质

2．1．5 n维拓扑流形

§2．2光滑流形

2．2．1 C∞坐标覆盖

2．2．2光滑流形的例子

2．2．3光滑函数和光滑映射

§2．3单位分解定理

2．3．1截断函数

2．3．2局部定义的光滑函数扩充成为大范围定义的光滑函数

2．3．3若干拓扑概念和引理

2．3．4单位分解定理

习题二

第三章 切向量场

§3．1切空间

3．1．1切向量

3．1．2切空间

3．1．3切空间TpM的基底和维数

3．1．4切空间TpM的自然基底在局部坐标变换时的变换规律

3．1．5余切向量和余切空间

3．1．6切映射

3．1．7光滑映射在一点的秩

3．1．8余切映射

§3．2切向量场

3．2．1切丛

3．2．2 C∞切向量场

3．2．3 C∞切向量场作为作用在光滑函数上的算子

3．2．4 C∞切向量场的Poisson括号积

3．2．5 C∞切向量场Poisson括号积的局部坐标表示

3．2．6在光滑流形之间的光滑映射下相关的光滑切向量场

第四章 光滑张量场和外微分式

第五章 李群的初步知识

第六章 联络

附录

部分习题答案或提示

参考文献

索引

陈维桓编著的《微分几何引论/首都师范大学数学教学系列丛书》系统全面介绍了微分几何相关知识，《微分几何引论/首都师范大学数学教学系列丛书》可以作为综合大学、高等师范院校基础数学专业研究生学习现代微分几何的教材，也可以作为应用数学、力学和物理学相关专业的学生和教师的参考书。陈维桓编著的《微分几何引论/首都师范大学数学教学系列丛书》是现代微分几何的入门教材。自从20世纪50年代以来，以“内蕴”和“大范围”为特点的现代微分几何为现代数学的研究提供了必不可少的语言、思想和方法。通常认为，关于微分流形的基础理论和联络、黎曼度量等几何结构的课程是数学研究生必修的基础课，对于数学研究生学习和理解现代数学有重要意义。课程的主要内容有：张量和外形式、微分流形、切向量场、光滑张量场和外微分式、李群的初步知识、联络。 本书在内容取材、概念讲解、例题演示、习题选配方面下了很多工夫，使得全书的内容更加精简，系统更加合理，并且更加适应于微分几何知识在更大范围内的普及。本书从微分流形的基本概念着手，强调每一种数学结构引进的目的和功能，使得每一章节的重点突出，读者也更加容易理解和接受。特别是在书中讲解了多达40道的例题，提供了从理论到习题的范例。本书在介绍了微分流形的基础理论之后，重点放在联络的理论，最后讲解了在现代数学中有广泛应用的Chern示性类，体现了教材内容的先进性。 《微分几何引论/首都师范大学数学教学系列丛书》可以作为综合大学、高等师范院校基础数学专业研究生学习现代微分几何的教材，也可以作为应用数学、力学和物理学相关专业的学生和教师的参考书。【作者简介】北京大学数学科学学院教授，博士生导师。1964年毕业于北京大学数学力学系，后师从吴光磊教授读研究生。1980年起长期从事和主持北京大学微分几何方向的研究工作和教学工作，直到2003年在北京大学退休。在著名学术期刊上发表各种研究论文近50篇；出版著作有：《微分几何讲义》(与陈省身合著)，《黎曼几何选讲》(与伍鸿熙合著)，《微分几何初步》，《微分几何》，《黎曼几何引论》(上、下册，与李兴校合著)(以上均为北京大学出版社出版)；《微分流形初步》，《微分几何例题详解和习题汇编》，以及《流形上的微积分》(以上均为高等教育出版社出版)。培养硕士生10名，博士生3名。