微积分早餐

总序

前言

第1章 白话微积分(轻松但严格)

1.1 切线和微分：计算相对误差

1.2 积分学：计算相对误差的平均

1.3 完整的微积分(初学略去)

1.4 副产品(基本定理的用处和无能)

1.5 从求高转到求面积(基本定理的另一解读)

1.6 弧长与斜率(照猫画虎)

1.7 微积分一张图

1.8 人口预测

1.9 《战争与和平》的解读

1.10 民间和主流

1.11 泰勒定理

1.12 微分方程的求解(有赖于实数)

1.13 筋骨

1.14 血和肉(应用和练习)

附录 登山对话

第2章 微分法(函数体的微分学)

2.1 相对误差

2.2 导数的推导

2.3 微分的变形

2.4 导数的更多例子

2.5 微分法则

附录 微分法则的推导

第3章 积分法(函数体的积分学)

3.1 基本定理：简单形式

3.2 基本定理：完整形式

3.3 基本定理：充分条件(初学不读)

3.4 由微分表得积分表

3.5 积分表的突破：自然对数和指数(有赖于实数)

3.6 积分代换法

3.7 分部积分法

3.8 面积测量

3.9 弧长测量

第4章 泰勒定理(基本定理的连用)

4.1 重写微分定义

4.2 重写泰勒余项

4.3 数值积分

4.4 泰勒级数

4.5 欧拉公式

附录 积分数值方法

第5章 微分方程(才用到实数)

5.1 一阶微分方程

5.2 二阶微分方程(牛刀杀鸡)

5.3 后记

附录 微分方程的存在定理(初学略去)

第6章 多元微积分(并行推广)

6.1 格林公式

6.2 泰勒余项

6.3 求高公式

6.4 求面积公式

第7章 轻松的抽象微积分(照猫画虎)

7.1 函数和向量

7.2 抽象微积分

附录 微分方程计算四步曲

参考文献

《微积分快餐》寻找最少且自封（不依赖于未证明的结果）的微积分，即最少的概念：微分和积分（实是一个概念，后者乃前者之和）；最少的定理：基本定理和泰勒定理（实是一个定理，后者乃前者的连用）；最简的解释（实是两张图）、最短的证明（实是两行算术，没有更多）、最少的数学符号（阿基米德的传统，多用文字和图形），这些概念、定理和证明只用到两张图、两行算术，不用实数，适合于文科；对理科还要加上最少的（即一个）微分方程，这时才用到实数．
　　简言之，最少的微积分=两个（或一个）概念+两个（或一个）定理十一个方程．归根结底，就是两张图、两行算术，加上一点实数，没有更多。

改造数学使之更适宜于教学和学习，是教育数学为自己提出的任务。
　　把学数学比作吃核桃。核桃仁美味而富有营养，但要砸开才能吃到它。数学教育要研究的，是如何砸核桃吃核桃。教育数学呢，则要研究改良核桃的品种，让核桃更美味，更营养，更容易砸开吃净。
　　翻翻这风格不同并且内容迥异的10《微积分快餐》，教育数学领域的现状历历在目。这是一个开放求新的园地，一个蓬勃发展的领域。在这里耕耘劳作的人们，想的是教育，做的是数学，为教育而研究数学，通过丰富发展数学而推进教育。提出新定义新概念，建立新方法新体系，发掘新问题新技巧，寻求新思路新趣味，凡此种种，无不是为教育而做数学。
　　这样的书，数学教师不可不读，数学教育的研究者不可不读。
　　你能解读托尔斯泰的《战争与和平》吗？你能预报中国明年的人口吗？要学一点微积分（最少的微积分），两个概述，两个定理，加一个方程，归根结底，就是两张图、两行算术，加上一点实数，没有更多。