2010硕士学位研究生入学资格考试GCT数学考前辅导教程

第1部分算术

第1章算术

1.1数的概念、性质和运算

1数的概念

2数的整除

3数的四则运算

4比和比例

1.2应用问题举例

1整数和小数四则运算应用题

2分数与百分数应用题

3简单方程应用题

4比和比例应用题

1.3典型例题

第2部分初等代数

第2章数和代数式

2.1实数和复数

1实数、数轴

2实数的运算

3复数

2.2代数式及其运算

1整式及其加法与乘法

2因式分解

3整式的除法

4分式

5根式

2.3典型例题

第3章集合、映射和函数

3.1集合

1集合的概念

2集合的包含关系

3集合的基本运算

3.2映射和函数

1映射的概念

2函数

3反函数

4函数的单调性、奇偶性和周期性

5幂函数、指数函数和对数函数

3.3典型例题

第4章代数方程和简单的超越方程

4.1概念

4.2一元一次方程

4.3二元一次方程组

4.4一元二次方程的性质

1判别式

2根和系数的关系

3二次函数的图像和一元二次方程的根

4.5解一元代数方程

1配方法

2公式法

3分解因式法

4.6根的范围、方程的变换

1确定根所属的区间

2方程的变换

4.7典型例题

第5章不等式

5.1不等式的概念和性质

1不等式的概念

2不等式的基本性质

3基本的不等式

4解不等式

5.2解含绝对值的不等式

5.3解一元二次不等式

5.4利用函数的性质和图像解不等式

5.5典型例题

第6章数列、数学归纳法

6.1数列的基本概念

6.2等差数列

6.3等比数列

6.4数学归纳法

6.5典型例题

第7章排列、组合、二项式定理和古典概率

7.1排列和组合

1基本概念

2排列数和组合数公式

3例题

7.2二项式定理

7.3古典概率问题

1基本概念

2等可能事件的概率

3互斥事件有一个发生的概率

4相互独立事件同时发生的概率

5独立重复试验

7.4典型例题

第3部分几何与三角

第8章常见几何图形

8.1常见平面几何图形

1三角形

2四边形

3圆和扇形

4平面图形的全等和相似关系

8.2常见空间几何图形

1长方体

2棱柱体和圆柱体

3正棱锥体和正圆锥体

4球

8.3典型例题

第9章三角学的基本知识

9.1三角函数

1角和三角函数

2同角三角函数的关系

3诱导公式

4三角函数的图像和性质

5例题

9.2两角和与差的三角函数

1两角和与差公式

2倍角与半角公式

3例题

9.3解斜三角形

9.4反三角函数

9.5典型例题

第10章平面解析几何

10.1平面向量

1基本概念

2向量的加法与数乘

3向量的内积

4有向线段的定比分点

10.2直线

1直线的方向向量、倾斜角和斜率

2直线的方程

3两条直线的位置关系

10.3圆

10.4椭圆

10.5双曲线

10.6抛物线

10.7例题

10.8典型例题

第4部分一元函数微积分

第11章极限与连续

11.1函数及其特性

1函数的定义

2函数的特性

3复合函数与初等函数

11.2数列的极限

1数列的极限

2数列极限的四则运算

11.3函数的极限

1函数极限的定义

2函数极限的性质

3函数极限的运算法则

4两个重要极限

11.4无穷小量与无穷大量

1无穷小量与无穷大量的定义

2无穷小量与无穷大量的关系

3无穷小量与函数极限的关系

4无穷小量的性质

5无穷小量的比较

6等价无穷小量替换定理

11.5函数的连续性

1连续的定义

2函数间断点及分类

3连续函数的运算法则

4连续函数在闭区间上的性质

11.6典型例题

第12章一元函数微分学

12.1导数的概念

1导数的定义

2导数的几何意义

3可导性与连续性的关系

12.2导数公式与求导法则

1导数公式

2四则运算的求导法则

3复合函数的求导法则

12.3高阶导数

12.4微分

1微分的定义

2微分与导数的关系

3微分的几何意义

4微分基本公式和四则运算法则

12.5中值定理

1罗尔定理

2拉格朗日中值定理

12.6洛必达法则

12.7函数的单调性与极值

1函数单调性的判定法

2函数的极值及判断

12.8函数的最大值、最小值问题

12.9曲线的凹凸、拐点及渐近线

1曲线的凹凸、拐点

2曲线的渐近线

12.10典型例题

第13章一元函数积分学

13.1不定积分的概念和简单的计算

1原函数、不定积分的概念

2不定积分基本计算公式

3不定积分的性质

13.2不定积分的计算方法

1第一类换元法(凑微分法)

2第二类换元法

3分部积分法

13.3定积分的概念及性质

1定积分的概念

2定积分的几何意义

3定积分的性质

13.4微积分基本公式、定积分的计算

1牛顿莱布尼茨公式

2变量替换法

3分部积分法

13.5定积分的应用

13.6典型例题

第5部分线性代数

第14章行列式

14.1行列式的概念与性质

1行列式的定义

2行列式的性质

3几个特殊的行列式

14.2行列式的计算

14.3典型例题

第15章矩阵

15.1矩阵及其运算

1矩阵的概念

2矩阵的运算

3方阵的行列式

4特殊矩阵

15.2可逆矩阵

1可逆矩阵与逆矩阵的概念

2矩阵可逆的充要条件

3可逆矩阵的性质

15.3矩阵的初等变换

1初等变换

2用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵

15.4矩阵的秩

1矩阵的秩的概念

2矩阵的秩的计算

3矩阵运算后秩的变化

15.5典型例题

第16章向量

16.1n维向量

1n维向量的定义

2n维向量的线性运算

16.2向量组的线性相关性

1向量的线性组合与线性表出

2向量组的线性相关与线性无关

3其他几个有关的结论

16.3向量组的秩

1向量组的秩和最大线性无关组

2向量组的秩和矩阵的秩的关系

16.4典型例题

第17章线性方程组

17.1线性方程组的基本概念

1非齐次线性方程组

2齐次线性方程组

17.2求解齐次线性方程组

1齐次线性方程组有非零解的条件

2齐次线性方程组解的性质

3齐次线性方程组解的结构、基础解系

4消元法解齐次线性方程组

17.3求解非齐次线性方程组

1非齐次线性方程组有解的条件

2非齐次线性方程组解的性质和结构

3消元法解非齐次线性方程组

17.4典型例题

第18章矩阵的特征值和特征向量

18.1特征值和特征向量的基本概念

1特征值和特征向量的定义

2特征值和特征向量的计算

3特征值和特征向量的性质

18.2矩阵的相似对角化问题

1相似矩阵的定义

2相似矩阵的性质

3矩阵对角化的条件和方法

18.3典型例题

2009年GCT数学基础能力测试题

2009年GCT数学基础能力测试题答案

附录A初等数学中的一些重要公式

附录B微积分中的一些常用公式

本书是根据硕士学位研究生入学资格考试指南（大纲）而编写的数学辅导教材，是在2009版的基础上修订而成的．全书安排算术、初等代数、几何与三角、一元微积分以及线性代数5部分内容，共18章．在每章中，汇总了考试指南中所涉及的重要知识点，并通过例题加以讲解，同时，按试卷中的命题方式组织了一些典型题目．本书含一张光盘，并附赠上网学习卡一张（见封底）．光盘内容为2010GCT数学备考综合串讲的视频录像； 学习卡提供了访问本书配套网上增值服务的密码．