代数几何原理

第0章基础知识

1.多复变初步

柯西公式及应用

多变量

魏尔斯特拉斯定理及其推论

解析簇

2.复流形

复流形

子流形与子簇

DeRham和Dolbeault上同调

复流形上的积分

3.层和上同调

起源：米塔一列夫勒问题

层

层的上同调

DeRham定理

Colbeault定理

4.流形的拓扑

闭链的相交

庞加莱对偶

解析闭链的相交

5.向量丛、联络和曲率

全纯复向量丛

度量、联络和曲率

6.紧致复流形的调和理论

霍奇定理

霍奇定理I的证明局部理论

霍奇定理II的证明全局理论

霍奇定理的应用

7.Kahler流形

Kahler条件

霍奇恒等式和霍奇分解

Lefschetz分解

第1章复代数簇

1.除子与线丛

除子

线丛

线丛的陈类

2.消灭定理及推论

小平消灭定理

超平面截面的Lefsclaetz定理

定理

(1，1)类的Lefsclaetz定理

3.代数簇

解析簇和代数簇

簇的次数

代数簇的切空间

4.小平嵌入定理

线丛和到投影空间的映射

胀开

小平定理的证明

5.格拉斯曼理论

定义

胞腔分解

Schubert微积分

万有丛

Plucker嵌入

第2章Riemann曲面和代数曲线

1.预备知识

Riemann曲面的嵌入

Riemann-Hurwitz公式

亏格公式

G=1，1的情况

2.阿贝尔定理

阿贝尔定理第一种描述

第一互反定律及推论

阿贝尔定理第二种描述

雅可比反演问题

3.曲线的线性系统

互反定律II

Riemann-Roch公式

典范曲线

特殊线性系统I

超椭圆曲线与黎曼点数

特殊线性系统II

4.Plucker公式

伴随曲线

分歧

广义Plucker公式I

广义Plucker公式II

Weierstrass点

平面曲线的Plucker公式

5.对应

定义和公式

空间曲线的几何性

特殊线性系统III

6.复环面和Abel簇

黎曼条件

复环面上的线丛

函数

Abel簇上的群结构

固有公式

7.曲线及曲线的行列式

初步知识

黎曼定理

黎曼奇异定理

特殊线性系统IV

Torelli定理

第3章深入技巧

1.分布与流

定义；幂公式

平滑与整齐

流的上同调

2.流在复分析上的应用

解析簇相关的流

解析簇的相交数

莱维扩展与常态映射定理

3.陈类

定义

高斯博内公式

关于全纯向量丛陈类讨论

4.不动点与剩余公式

莱夫谢茨不动点公式

全纯莱夫谢茨不动点公式

博特剩余公式

广义Hirzebruch-Riemann-Roch公式

5.谱序列及其应用

滤子化双重复形的谱序列

超上同调

二类微分

勒雷谱序列

第4章曲面

1.初步知识

2.相交数、从属公式与Riemann-Poch

胀开与收缩

二次曲面

三次曲面

2.有理映射

有理和双有理映射

曲线与代数面

面之间双有理映射的结构

3.有理曲面I

诺特引理

有理直纹面

广义有理曲面

极小度曲面

最大类曲线

施泰纳构造

Enriques-Petri定理

4.有理曲面II

Castelnuovo-Enriques定婴

Enriques曲面

修正的三次曲面

中两个二次曲面的相交

5.无理曲面

阿尔巴内塞映射

无理直纹曲面

椭圆曲面简介

小平数和分类定理I

分类定理II

K-3曲面

诺特曲面

6.诺特公式

平滑超平面的诺特公式

胀开子流形

曲面的寻常奇点

一般曲面的诺特公式

几个例子

曲面的孤立奇点

第5章留数(残数)

1.留数的基本性质

定义和上同调解释

整体留数定理

变换法则与局部对偶性

2.留数的应用

相交数

有限全纯映射

平面投影几何中的应用

3.交换同调代数应用初步

交换代数

同调代数

科斯居尔复形及其应用

凝聚层的简短游程

4.整体对偶

整体扩展

广义整体对偶定理解释

整体扩展和带孤立零点的向量场

整体对偶和曲面上点的剩余

模的扩张

曲面上的点和秩2向量丛

留数和向量丛

第6章二次线丛

1.二次曲面初步

二次曲面的秧

二次曲面中的线性空间

二次曲面的线性系统

五个锥线论问题

2.二次线丛介绍

格拉斯曼G(2，4)几何

线丛

二次线丛和伴随库默尔曲面I

二次线丛的奇异线

两个构形

3.二次线丛的线

二次线丛的线簇

线簇上的曲线

两个修正构形

群法则

4.二次线丛：Reprise

二次线丛和伴随库默尔曲面II

二次线丛的有理性

索引

　　代数几何是数学中最古老和发展比较快的学科之一，它与投影几何、复分析、拓扑学、数论以及数学领域的其它分支有着紧密的联系。然而近些年代数几何不论是风格还是语言都发生了巨大的变化，本书展示了相关理论的主要研究结果和计算工具的发展。本书有如下特点：(1)本书以研究具体几何问题和特殊类代数簇为中心来展开。(2)注重实例的复杂性与通常模式的对称性这两者之间的均衡，在选择的论题和叙述顺序中，书中尽量体现这种关系。(3)尤其对于涉及到的“复杂”结果，都有充分完整的证明。目次：多复变初步；复代数簇；Liemann曲面和代数曲线；深入技巧；曲面；留数；二次线丛。