数值分析与算法

第1章 数值计算导论

1.1 概述

1.1.1 数值计算与数值算法

1.1.2 数值计算的问题与策略

1.1.3 数值计算软件

1.2 误差分析基础

1.2.1 数值计算的近似

1.2.2 误差及其分类

1.2.3 问题的敏感性与数据传递误差估算

1.2.4 算法的稳定性

1.3 计算机浮点数系统与舍人误差

1.3.1 计算机浮点数系统

1.3.2 舍入与机器精度

1.3.3 浮点运算的舍入误差

1.3.4 抵消现象

1.4 保证数值汁算的准确性

1.4.1 减少舍入误差的几条建议

1.4.2 影响结果准确性的主要因素

评注

算法背后的历史：浮点运算的先驱——威廉·卡亨

练习题

上机题

第2章 非线性方程求根

2.1 引言

2.1.1 非线性方程的解

2.1.2 问题的敏感性

2.2 一分法

2.2.1 方法原理

2.2.2 算法稳定性和结果准确度

2.3 不动电迭代法

2.3.1 基本原理

2.3.2 全局收敛的充分条件

2.3.3 局部收敛性

2.3.4 稳定性与收敛阶

2.4 牛顿迭代法

2.4.1 方法原理

2.4.2 重根的情况

2.4.3 判停准则

2.4.4 牛顿法的问题

2.5 割线法与抛物线法

2.5.1 割线法

2.5.2 抛物线法

2.6 实用的方程求根技术

2.6.1 阻尼牛顿法

2.6.2 多项式方程求根

2.6.3 通用求根算法zeroin

应用实例：城市水管应埋于地下多深?

2.7 非线性方程组和有关数值软件

2.7.1 非线性方程组

2.7.2 非线性方程求根的相关软件

评述

算法背后的历史：牛顿与牛顿法

练习题

上机题

第3章 线性方程组的直接解法

3.1 基本概念与问题的敏感性

3.1.1 线性代数中的有关概念

3.1.2 向量范数与矩阵范数

3.1.3 问题的敏感悱与矩阵条件数

3.2 高斯消去法

3.2.1 基本的高斯消去法

3.2.2 高斯-若当消去法

3.3 矩阵的1U分解

3.3.1 高斯消去过程的矩阵形式

3.3.2 矩阵的直接1U分解算法

3.3.3 1U分解的用途

3.4 选主元技术与算法稳定性

3.4.1 为什么要选主元

3.1.2 使用部分主元技术的1U分解

3.4.3 其他选主元技术

3.4.4 算法的稳定性

3.5 对称正定矩阵与带状矩阵的解法

3.5.1 对称止定矩阵的Cho1esky分解

3.5.2 带状线性方程组的解法

……

上机题

第8章 常微分方程初值问题的解法

8.1 引言

8.1.1 问题分类与可解性

8.1.2 问题的敏感性

8.2 简单的数值解法与有关概念

8.2.1 欧拉法

8.2.2 数值解法的稳定性与准确度

8.2.3 向后欧拉法与梯形法

8.3 龙格库塔方法

8.3.1 基本思想

8.3.2 几种显式R-K公式

8.3.3 显式RK公式的稳定性与收敛性

8.3.4 自动变步长的R-K方法

8.4 多步法

8.4.1 多步法公式的推导

8.4.2 Adams公式

8.4 更多讨论

8.5 常微分方程组与实用技术

8.5.1 阶常微分方程组

8.5.2 MAT1AB中的实用ODE求解器

应用实例：洛伦兹吸引子

评述

算法背后的历史：“数学家之英雄”欧拉

练习题

上机题

附录A 有关数学记号的说明

附录B MAT1AB简介

附录C 部分习题答案

索引

参考文献

本书是针对“数值分析”、“计算方法”、“数值分析与算法”等课程编写的教材，主要面向理工科大学信息科学与技术各专业以及信息与计算科学专业的本科生.本书内容包括数值计算基础、非线性方程的数值解法、线性方程组的直接解法与迭代解法、矩阵特征值与特征向量的计算、数值逼近与插值、数值积分方法、常微分方程初值问题的解法以及数值算法与应用的知识.本书涵盖了数值分析、矩阵计算领域最基本、最常用的一些知识与方法，在算法及应用方面增加了一些较新的内容.在叙述上既注重理论的严谨性，又强调方法的应用背景、算法设计以及不同方法的对比.每章配备了应用实例、算法背后的历史、评述等子栏目，书末附有术语索引.对常用算法给出了简明的算法伪码描述，在附录中还包括了MATLAB软件的简介，便于读者进行上机编程实验.本书适合作为高年级本科生或研究生的教材，也可供从事科学与工程计算的科研人员参考.