从大学数学走向现代数学

第一章从代数运算到代数结构

1.1代数运算和代数结构

1.1.1什么是代数运算

1.1.2代数运算的规律

1.1.3什么是代数结构

1.1.4关于运算的同余关系

1.2群

1.2.1对称与群

1.2.2群的定义与性质

1.2.3子群与商群

1.3环、域

1.3.1环的定义、性质与类型

1.3.2子环与商环

1.3.3域

1.4模

1.4.1模、子模、商模

1.4.2自由模

1.5同态与同构

1.5.1同态与同构

1.5.2同态基本定理

1.5.3对代数体系的分类

第二章从有限维空间到无限维空间

2.1为什么要引入无限维空间

2.1.1n维Euclid空间Rn

2.1.2无限维空间

2.2度量空间中的收敛性、完备性和紧性

2.2.1度量空间及其中点列的收敛性

2.2.2空间的完备性与完备化

2.2.3列紧性与紧性

2.3赋范线性空间与Hahn-Banach定理

2.3.1赋范线性空间

2.3.2等价范数与有限维赋范线性空间的特征

2.3.3有界线性算子与有界线性泛函

2.3.4Hahn-Banach定理与对偶空间

2.3.5各种收敛性

2.4Hilbert空间与Fourier展开

2.4.1Hilbert空间与正交投影

2.4.2Hilbert空间的正交系与：Fourier展开

2.4.3可分Hilbert空间的同构性与Hilbert空间的自共轭性

第三章从函数到算子

3.1函数概念发展的历史简述

3.2从函数到映射与算子

3.3广义函数(分布)

第四章从序列收敛到网收敛

4.1数列与序列

4.2度量空间中的序列

4.2.1度量空间中序列的极限

4.2.2度量所诱导的拓扑

4.2.3用序列描述闭集和开集

4.2.4连续映射

4.2.5紧度量空间

4.3拓扑空间中的网

4.3.1从Riemann积分的定义看序列概念的局限性

4.3.2拓扑空间

4.3.3拓扑空间的若干基本性质

4.3.4拓扑空间上的连续映射

4.3.5乘积拓扑空间

4.3.6定向集与网

4.3.7用网描述拓扑空间中的基本概念

第五章从导数到广义导数

5.1从微积分中的导数谈起

5.1.1微积分中的导数

5.1.2导数概念的一种最直接和自然的推广

5.2广义函数与广义导数

5.3导子

5.4切丛与向量丛

第六章从Newton-Leibniz公式到Stokes公式

6.1Newton-Leibniz公式及其在高维的推广

6.2外微分式和外微分

6.2.1微分的意义

6.2.2外形式

6.2.3外微分式

6.2.4外微分

6.2.5积分

6.2.6Stokes公式

6.3微分流形上的Stokes公式

6.3.1微分流形的概念

6.3.2外微分的形式不变性

6.3.3在光滑流形上外微分式的积分

6.3.4微分流形上的Stokes公式

6.4Stokes公式的意义

第七章从Taylor公式到学习理论

7.1Taylor公式及其发展

7.1.1一元函数的Taylor公式

7.1.2多元函数的Taylor公式

7.1.3Banach空间上的及Taylor公式

7.2从函数展开到Fourier分析

7.2.1多项式展开

7.2.2Hilbert空间理论

7.2.3Fourier分析

7.2.4Fourier变换

7.3从函数近似到逼近论

7.3.1用已知有限点信息的近似数值逼近

7.3.2用简单函数的近似函数逼近论

7.4小波分析与神经网络

7.4.1小波分析

7.4.2神经网络

第八章从矩阵的特征值到算子的谱

8.1从矩阵的特征值谈起

8.2线性算子的谱

8.3紧算子和对称算子的谱

8.3.1紧算子的谱

8.3.2对称算子的谱

8.4自伴算子的谱分析

8.5结束语

第九章从微分方程到动力系统

9.1动力系统

9.1.1从微分方程到动力系统，结构稳定与分支的定义

9.1.2奇点附近的局部结构，稳定和不稳定流形，中心流形

9.1.3轨道的大范围性质，闭轨与极限集，Lyapunov稳定性

9.1.4平面动力系统的极限环，Hilbert第16个问题

9.2平面动力系统的结构稳定与分支现象

9.2.1一个大范围的结构稳定性定理

9.2.2平面系统的分支现象

第十章从随机变量到随机过程

10.1随机变量与随机向量

10.1.1概率空间

10.1.2随机变量

10.1.3随机向量

10.2随机过程的定义

10.3随机过程的基本性质

10.3.1可测性

10.3.2可分性

10.3.3样本函数的连续性

10.4几类重要的随机过程

10.4.1Brown运动

10.4.2Markov过程

10.4.3平稳过程

10.5鞅

10.5.1条件数学期望

10.5.2鞅的定义

10.5.3关于鞅的几个重要结果

第十一章从数学应用题到数学建模

11.1数学建模的基本过程与框架

11.2数学模型必须接受实际检验

11.3数据处理

11.4模型的不断改进

11.5层次分析法

11.6针对不同的实际问题建立不同的数学模型

第十二章从Stirling公式到积分的渐近逼近

12.1渐近分析的故事

12.2Bernoulli数

12.3Bernoulli多项式

12.4Euler-Maclaurin求和公式

12.5Euler-Maclaurin公式应用举例

12.6Riemannf函数的初步介绍

12.7Watson公式和Laplace公式

第十三章从平坦的欧氏空间到弯曲的黎曼空间

13.1从欧氏几何到非欧几何

13.2从解析几何到微分几何

13.3从欧拉的微分几何到高斯的微分几何

13.3.1平面曲线的描述

13.3.2空间曲线的描述

13.3.3三维欧氏空间中曲面的描述

13.3.4高斯曲率的内在意义

13.4黎曼空间的几何

参考文献

　　本书包括13个专题，旨在从大学数学中“高等数学”、“线性代数与解析几何”以及“概率统计”的某些基本知识出发，以简短的篇幅延伸至现代数学中的相关内容，从而能从更高的观点和更全面的视角理解所教内容和相关的科学思维方法。该书强调了从大学数学中现有相关教学内容出发，更突出体现“走向”过程，适当删减了一些过多过深的内容。其内容主要包括从代数运算到代数结构、从有限维空间到无限维空间、从函数到算子、从序列收敛到网收敛等。　　在国家自然科学基金委员会天元基金领导小组委托西安交通大学理学院举苏的“西部与周边地区高等学校非数学类数学教师培训班”上，12位教授应邀联合开设了“从大学数学走向现代数学”的系列讲座，本书即为该系列讲座的集成。书中各篇从大学数学中的某些基本概念与原理出发，以简短的篇幅阐明这些基本概念、原理如何发展到近代数学的相关分支与内容，使读者能更清楚地了解大学数学与现代数学的联系，从而能从更高的观点和更全面的视角理解大学数学内容。主要内容包括：从代数运算到代数结构、从有限维空间到无限维空间、从函数到算子、从序列收敛到网收敛、从导数到广义导数、从Newton-Lcibniz公式到Stokes公式、从Taylor公式到学习理论、从矩阵的特征值到算子的谱、从微分方程到动力系统、从随机变量到随机过程、从数学应用题到数学建模、从Stirling公式到积分的渐近逼近、从平坦的欧氏空间到弯曲的黎曼空间。全书各章内容自成体系。