分数阶微积分

第1章绪论

1.1分数阶微积分的创立与发展简介

1.2几类特殊函数及变换

1.2.1Gamma函数

1.2.2Beta函数

1.2.3Laplace变换

1.2.4Fourier变换

1.3MittagLeffler函数及其性质

1.3.1MittagLeffler函数定义

1.3.2两参数MittagLeffler函数的Laplace变换

1.3.3MittagLeffler函数的求导公式

习题1

第2章GrünwaldLetnikov型分数阶微积分

2.1GL型分数阶微积分的定义

2.1.1整数阶导数的差分近似递推

2.1.2GL意义下整数阶微分与积分的统一形式

2.1.3GL型分数阶微积分的定义

2.2GL型分数阶微积分的性质

2.3GL型分数阶微积分的数学建模

2.3.1一般能量信号的GL型分数阶微分模型

2.3.2图像增强与去噪的GL型分数阶微分与积分滤波器

构造模型

2.3.3计算时间分数阶导数的GL定义下的差分模型

2.4GL型分数阶微积分计算的数学实验

习题2

第3章RiemannLiouville型分数阶微积分

3.1RL型分数阶微积分的定义与性质

3.1.1左RL型分数阶微积分

3.1.2左RL型分数阶微积分算子的性质

3.1.3RL型分数阶微积分的中值定理

3.1.4右RL型分数阶微积分的概念

3.1.5常用RL意义下的左（右）12阶导数与12阶积分

3.2RL型分数阶微积分积分变换与广义分数阶导数

3.2.1RL型分数阶微积分的积分变换

3.2.2广义分数阶导数与RL型分数阶积分

3.3GL型与RL型分数阶微积分之间的关系

3.4RL型分数阶微积分的物理解释与数学建模及实验

3.4.1RL型分数阶微积分的一种物理解释

3.4.2控制系统中RL型分数阶微分模型

3.4.3耳石器官广义分数阶黏弹性动力学模型

3.4.4计算时间分数阶导数的RL定义下的差分模型

3.5RL型分数阶微积分计算的数学实验

习题3

第4章Caputo型分数阶微积分

4.1Caputo型分数阶导数的定义

4.2Caputo型分数阶导数的性质

4.3GL型、RL型分数阶微积分与Caputo型分数阶导数之间的关系

4.3.1GL型定义与Caputo型定义之间的关系

4.3.2RL型定义与Caputo型定义之间的关系

4.4Caputo型分数阶导数的数学建模

4.4.1Caputo型分数阶Lagrange函数的EulerLagrange

数学模型

4.4.2计算时间分数阶导数的Caputo型差分模型

4.5Caputo型分数阶导数计算的数学实验

习题4

第5章Weyl型分数阶微积分

5.1Weyl型分数阶微积分的定义

5.1.1速降函数的概念及性质

5.1.2Weyl型分数阶微积分的定义

5.2Weyl型分数阶微积分的性质

5.3Weyl型分数阶微积分的数学建模

5.4Weyl型分数阶微积分计算的数学实验

习题5

第6章分数阶微分方程

6.1分数阶微分方程模型

6.2分数阶微分方程的Green函数和Laplace变换求法

6.2.1Laplace变换求解分数阶微分方程

6.2.2序列分数阶导数

6.2.3Green函数法求解分数阶微分方程

6.3分数阶微分方程的初值问题

6.3.1线性RL型分数阶微分方程的初值问题

6.3.2非线性RL型分数阶微分方程的初值问题

6.3.3Caputo型分数阶微分方程初值问题

6.4分数阶微分方程的两点边值问题

6.4.1线性分数阶微分方程两点边值问题

6.4.2分数阶非线性微分方程边值问题

6.5分数阶发展方程的初值问题

6.5.1抽象分数阶线性微分方程初值问题

6.5.2抽象分数阶发展方程初值问题

习题6

第7章随机分数阶微分方程

7.1随机分析基础

7.1.1Brown运动

7.1.2Ito积分的定义与性质

7.1.3Ito公式

7.1.4停时

7.1.5鞅的概念与性质

7.1.6常用的不等式

7.1.7分数Brown运动及其随机积分

7.2半线性随机分数阶微分方程

7.3随机分数阶积分微分方程

7.4Hilbert空间中的随机分数阶Volterra方程

7.5随机分数阶振动方程

7.6几类抽象随机分数阶微分方程的适定性

7.6.1Caputo型分数阶随机微分方程

7.6.2带Caputo型分数阶导数的随机分数阶微分方程

7.6.3分数Brown运动驱动的随机微分方程

习题7

第8章初值随机化及其应用

8.1随机级数的定义与性质

8.1.1Banach空间中的随机级数

8.1.2Hilbert空间中的随机级数

8.1.3正项随机级数

8.2随机级数的Lp正则性

8.3超临界波方程初值随机化的Cauchy问题

8.4几类非线性发展方程初值随机化的Cauchy问题

8.4.1分数阶不可压NavierStokes方程初值随机化的

Cauchy问题

8.4.2非线性Schrdinger方程初值随机化的Cauchy问题

习题参考答案

参考文献

本书讲述了Grünwald-Letnikov型、Riemann-Liouville型、Caputo型及Weyl型四种分数阶微分、分数阶积分的定义、性质、运算法则及分数阶微积分建模的案例，讨论了分数阶微分方程的初边值问题、随机分数阶微分方程初值问题和随机级数在非线性波方程初值随机化中的应用.本书可作为高等院校理工科高年级本科生、研究生的教材或教师的教学参考书，也可供从事相关理论研究的科技工作者阅读使用.