大学生数学竞赛习题精讲

第1部分 内容要点、例题、习题

第1章 一元函数的极限与连续

1.1 极限

1.1.1 内容要点

1.1.2 例题选讲

1.1.3 习题汇编

内容分类

一般数列的极限

递推与迭代数列的极限

数列的收敛速度

数列极限的其他问题

函数极限

特色题

数列极限的平均值例2

数列xn+1=c+xn的极限例3

用比值法或根值法求数列极限例5

lnαx,xβ,eγx趋于无穷大速度的比较例7

用施笃兹定理求数列极限题3

用夹逼准则求数列极限题4

方程tanx=x相邻根差的数列极限题5

用单调有界原理求数列极限题22

数列的收敛速度题29，30，31

数列 sinnθ 的收敛性题33

方程ex+x2n+1=0根的数列极限题38

交叉迭代的数列极限题39，40

空间中4个点交叉迭代的点列极限题41

幂指型极限的等价无穷小代换题45

用微分中值定理求极限题46

函数 (ax1+ax2+…+axn)/n1/x的极限题47

x→0+时函数 xxxx的极限题48

1.2 一元函数的连续性

1.2.1 内容要点

1.2.2 例题选讲

1.2.3 习题汇编

内容分类

介值定理、零点定理与连续性

函数方程与连续性

连续函数的应用题

特色题

2x的函数方程例1

椭圆的外切正方形例2

多项式的实零点与最值例3

连续性与不动点例4，题5，6

最大、最小函数的连续性题7

地球的同温点题13

陈家全的百米世界纪录题14

方桌的平稳摆放题16

“一刀二饼”问题题18

第2章 一元函数微分学

2.1 导数与微分

2.1.1 内容要点

2.1.2 例题选讲

2.1.3 习题汇编

内容分类

求导法

曲线的切线与法线

高阶导数

导函数的性质

特色题

用递推公式求高阶导数例3，题21

导函数的极限定理例6

分段函数的导函数及其连续性例7

导函数的介值定理例8

函数行列式的导数题8，9

相关变化率题10，11

反函数的二三阶导数题22

导数不为零的函数是单调函数题25

导函数没有第一类间断点题26

……

第3章 不定积分与定积分

第4章 多元函数微分学

第5章 多元函数积分学

第6章 无穷级数

第7章 微分方程

第2部分 习题解答

本书是为大学生数学竞赛（非数学专业）编写的教学辅导教材，内容覆盖了大学高等数学(微积分)等课程。全书共有7章，共约1200多道题，其中收集了自2009年至2015年的全国预决赛（非数学）和北京市竞赛的全部试卷。全部习题都附有较详细的解答。题目难度有一定的差异，以适合不同层次和不同专业的学生对数学竞赛或考研辅导的需求。书中经典的基本题约占二分之一，且涵盖的题目类型广泛，近年数学竞赛的很多题目都可在本书中找到踪影。对于经济和管理类的学生，除了“曲线与曲面积分”一节的内容之外，其他章节皆适用。此外，新版增加了相当数量的新题目，如“等周问题”、“圆周率是无理数”、“公路占地原理”、“最大熵原理”等，以适合高层次学生对数学知识的追求。新版中对每一节的习题都做了详细的分类，特色题大都给予命名并开列在目录中，以帮助读者归纳和查找，使该书的内容更加系统化。