高等数学专题梳理与解读

前言

1极限与连续

1.1极限的概念与性质

1.1.1极限的基本概念

1.1.2极限的性质与法则

1.1.3函数、数列、子数列之间的关系

1.2函数的连续性

1.2.1函数连续的概念与性质

1.2.2函数间断的概念

1.2.3闭区间上连续函数的性质及其应用

1.3极限存在的准则

1.4极限的计算

1.4.1基本型不定式极限的计算

1.4.2幂指函数极限的计算

1.4.3极限中参数的确定

2一元函数导数的概念与计算

2.1导数与微分的概念

2.1.1一元函数导数的定义

2.1.2一元函数导数的基本性质

2.1.3分段函数的可导性讨论

2.1.4微分的定义

2.2一元函数导数的计算

2.2.1基本类型函数的导数计算与应用

2.2.2高阶导数的计算

3微分中值定理及其应用

3.1微分中值定理

3.1.1微分中值定理的分析

3.1.2泰勒定理与泰勒公式的建立

3.2微分中值定理的若干应用

3.2.1函数与其导数之间的关系

3.2.2微分中值定理的中值的若干问题

3.2.3利用微分中值定理证明不等武

3.2.4利用洛必达法则求极限

3.2.5泰勒公式的若干应用

3.3利用微分中值定理讨论方程的实根

4一元函数及其性态分析

4.1函数

4.1.1函数的概念

4.1.2函数的构造

4.2一元函数性态的分析

4.2.1函数的单调性与极值

4.2.2曲线的凹向性

4.2.3函数性态的综合分析

4.2.4函数的最优值问题

4.3函数性态分析的应用

4.3.1结合函数性态分析讨论方程的实根

4.3.2利用函数性态分析证明不等式

5一元函数积分的概念与性质

5.1一元函数积分的概念与性质

5.1.1不定积分与定积分的概念

5.1.2不定积分与定积分的性质

5.1.3广义积分的概念与性质

5.2变限定积分

5.2.1变限定积分函数的概念与性质

5.2.2变限定积分函数的性态分析

5.2.3含有变限定积分的极限的计算

5.2.4变限定积分函数的连续性与可导性

5.2.5变限定积分的导数与积分的计算

5.3定积分的证明

5.3.1定积分的若干证明

5.3.2结合定积分性质讨论方程的实根

5.3.3定积分不等式的证明

6一元函数积分的计算与应用

6.1一元函数积分的计算

6.1.1不定积分的计算

6.1.2定积分的计算

6.1.3分段函数积分的计算

6.1.4广义积分的计算

6.2定积分的应用

6.2.1定积分在几何中的应用

6.2.2定积分在物理中的应用

7无穷级数

7.1无穷级数的基本概念与性质

7.1.1无穷级数敛散性的定义

7.1.2无穷级数的基本性质

7.2无穷级数敛散性的判断

7.2.1无穷级数敛散性的判别

7.2.2利用无穷级数讨论数列极限的存在性

8幂级数与傅里叶级数

8.1幂级数的收敛域及其和函数

8.1.1幂级数收敛域的确定

8.1.2幂级数和函数的求取

8.1.3数项级数和值的求取

8.1.4幂级数的和函数与微分方程

8.2函数的幂级数展开

8.3函数的傅里叶级数展开

8.3.1函数的傅里叶系数与傅里叶级数

8.3.2傅里叶级数的收敛定理

8.3.3以2Z为周期的函数的傅里叶级数的展开

8.3.4定义在[0，f]上函数的傅里叶级数的展开

9多元函数微分学

9.1多元函数的基本概念与性质

9.1.1多元函数

9.1.2多元函数的极限与连续

9.1.3多元函数的偏导数

9.1.4全微分

9.2偏导数与全微分的计算

9.2.1多元函数在给定点处的偏导数与全微分

9.2.2多元复合函数的偏导数

9.2.3隐函数的偏导数

9.2.4通过变量变换化简微分方程

9.2.5偏导数与微分方程

9.3多元函数的优化问题

9.3.1多元函数的极值问题

9.3.2多元函数的最优值问题

9.3.3利用多元函数最优化的方法证明不等式

10重积分

10.1二重积分

10.1.1二重积分的概念与性质

10.1.2二重积分的计算

10.1.3二重积分的不等式

10.1.4广义二重积分的概念与计算

10.1.5二重积分的应用

10.2三重积分

10.2.1三重积分的概念与性质

10.2.2三重积分的计算与应用

11矢量代数解析几何场论初步

11.1矢量代数

11.2空间解析几何

11.2.1平面与直线

11.2.2空间曲面及其方程

11.2.3空间曲线及其方程

11.3场论初步

12曲面积分与曲线积分

12.1第一类曲线积分与曲面积分

12.1.1第一类曲线积分

12.1.2第一类曲面积分

12.2第二类曲面积分

12.2.1第二类曲面积分的概念与性质

12.2.2第二类曲面积分的计算

12.3第二类曲线积分

12.3.1第二类曲线积分的概念与性质

12.3.2第二类曲线积分的计算

12.3.3平面曲线积分与路径无关

13常微分方程

13.1常微分方程的基本概念及其解的性质

13.1.1常微分方程的基本概念

13.1.2线性微分方程解的性质与解的结构理论

13.2一阶微分方程

13.2.1一阶线性微分方程

13.2.2一阶非线性微分方程

13.2.3一阶微分方程的应用

13.3高阶微分方程

13.3.1常系数线性微分方程

13.3.2变系数线性微分方程

13.3.3非线性微分方程

14经济学中的若干数学问题

14.1微积分在经济学中的应用

14.1.1极限在经济问题中的应用

14.1.2导数在经济问题中的应用

14.1.3积分在经济问题中的应用

14.1.4最优化原则在经济问题中的应用

14.2差分方程

14.2.1差分与差分方程的基本概念

14.2.2一阶常系数线性差分方程的求解

附录A数学思想与创新思维选读

A1特殊与一般

A1.1特殊与一般

A1.2两种常用的化归思维方法

A1.3关系映射反演方法

A1.4函数构造

A2分解与组合

A2.1分解

A2.2组合

A3联想、类比、归纳与演绎

A3.1联想与类比

A3.2归纳与演绎

A4思维

A4.1思维

A4.2同向思维与逆向思维

A4.3对偶结构思维

A4.4非逻辑思维

A5抽象

A5.1抽象与数学抽象

A5.2弱抽象与强抽象

A6数学中的美学

A6.1美学

A6.2数学美

A6.3数学美的内容

A6.4数学美的特征

　　本书是作者根据自己几十年大学数学教学和20余年考研数学辅导的丰富经验，密切结合当前大学生高等数学学习和考研复习的实际需求，潜心笔耕历时3年多著述而成的。全书通过大量例题，以专题的形式十分深入地讲解高等数学的问题、思路和方法，几乎对每个例题都以“注记”的形式给出深刻的解读。全书分14章，内容包括：极限与连续、一元函数导数的概念与计算、微分中值定理及其应用、一元函数及其性态分析、一元函数积分的概念与性质等。　　本书是作者根据自己几十年大学数学教学和20余年考研数学辅导的丰富经验，密切结合当前大学生高等数学学习和考研复习的实际需求，潜心笔耕历时3年多著述而成的。全书通过大量例题，以专题的形式十分深入地讲解高等数学的问题、思路和方法，几乎对每个例题都以“注记”的形式给出深刻的解读。全书分14章，内容涉及极限与连续、一元函数导数的概念与计算、微分中值定理及其应用、一元函数及其性态分析、一元函数积分的概念与性质、一元函数积分的计算与应用、无穷级数的敛散性、幂级数与傅里叶级数、多元函数微分学、重积分、矢量代数、解析几何、场论初步、曲面积分与曲线积分、常微分方程以及经济学中的若干数学问题。最后附录给m数学思想与创新思维选读等内容。本书是高等数学教学内容的补充、延伸、拓展和深入，对教师教学和学生学习、复习中的疑难问题、不易展开的问题、需要思维剖析和思路总结与解读的问题均进行了详细的探讨，能够十分有效地帮助学生夯实数学基础和提高思维分析能力及解题能力。　　本书可供普通高等院校学习“高等数学”及“数学分析”的大学生、复习考研的各专业学生和从事大学数学教学的教师学习、研读。对于学过高等数学的广大科技人员，本书也是值得收藏和供时常研阅的绨典件作。