数学分析中的方法与技巧

序

第二版引言

第一版引言

预备知识概述

第一章 数域与数环

1.1 代数整数

1.2 整元素

1.3 共轭与嵌入

1.4 迹与范

1.5 元素的判别式

1.6 整基和域的判别式

第二章 Noether环与Dedekind环

2.1 Noether环

2.2 素理想与分式理想

2.3 Dedekind环

2.4 Dedekind环的理想与理想类

2.5 数论中的整环

第三章 素理想在扩域中的分解

3.1 局部化

3.2 素分解

3.3 Kummer定理

3.4 分解群

3.5 惯性群

3.6 Frobenius自同构与Artin映射

3.7 二次域等域中的素分解

第四章 赋值论与完备化

4.1 p-adic数

4.2 赋值

4.3 数域和函数域的赋值

4.4 逼近定理

4.5 完备化

4.6 离散赋值域

4.7 赋值的延拓（完备情形）

4.8 赋值的延拓（一般情形）

4.9 赋值延拓的推论

第五章 局部域及应用

5.1 局部域上的多项式

5.2 非分歧扩张

5.3 完全分歧和顺分歧

5.4 惯性群与分歧群

5.5 整体域与局部域

5.6 差分

5.7 差分与分歧

5.8 判别式

第六章 整体域：类数与单位

6.1 常算术域与Dedekind环

6.2 类数的有限性

6.3 数域的嵌入

6.4 类数与Minkowski常数

6.5 单位定理

第七章 二次域与分圆域

7.1 二次域的单位群

7.2 欧几里得域

7.3 二次域的类数

7.4 分圆域中的素分解及应用

7.5 分圆域的整基与判别式

7.6 分圆域的单位与类数

7.7 分圆域的进一步理论

第八章 特征与解析理论

8.1 Dirichlet特征

8.2 域的特征群与素分解

8.3 Dirichlet级数

8.4 Zeta函数和L-函数

8.5 类数公式

8.6 Bernolli数与CM-域类数

8.7 进一步的解析理论

第九章 伊代尔与类域论

9.1 Adele环和Idele群

9.2 射线理想类群

9.3 理想类群与伊代尔类群

9.4 通用范指数不等式

9.5 上同调理论

9.6 范指数

9.7 Artin互反律

9.8 类域论基本定理

9.9 存在一分裂一分歧定理

9.10 局部类域论

9.11 Htilbert类域及例

9.12 Galois扩张的Artin L-函数

第十章 代数函数域

10.1 函数域与代数曲线

10.2 Riemann-Roch定理

10.3 函数域扩张

10.4 函数域的Zeta函数

10.5 Artin L-级数和Hecke L-级数

10.6 常数域扩张的类群

10.7 分圆函数域

10.8 函数域的类数和单位第一章 实数理论

1 实数的基本概念

2 实数的四则运算

3 实数的完备性

4 关于指数函数、对数函数和幂函数的注记

第二章 数列极限的若干典型求法

1 夹挤法

2 利用上下极限

3 应用单调有界原理

4 利用递推关系

5 应用Stolz定理

第三章 函数的极限与连续性

1 一元函数极限的定义

2 函数极限的基本性质

3 无穷小与无穷大的阶

4 一元函数的连续性

5 函数方程

6 多元函数的极限与连续性

第四章 微分和积分中值定理

1 微分中值定理

2 积分中值定理

第五章 数项级数

1 非负项级数

2 一般项级数

第六章 函数项级数

1 收敛域和一致收敛性

2 函数项级数的和的性质

3 幂级数

第七章 不等式

1 应用数学归纳法证明不等式

2 应用单调性或凸性证明不等式

3 应用正定性或配方法证明不等式

4 关于不等式的杂题

第八章 变分法

1 一元积分的变分问题

2 多重积分泛函的变分问题

3 条件极值

第九章 函数的逼近与开拓

1 在一有界集外为零的无穷次可微函数

2 连续函数的开拓

3 磨光算子与连续函数的光滑逼近

第十章 代数中的分析方法

1 奇异矩阵的正则化

2 行列式的微分及其应用

参考文献

10.9 二次与分圆函数域的类数

10.10 类域构作、椭圆曲线与模形式

参考文献

名词索引

《数学分析中的方法与技巧》是为适应高等学校数学学科教学改革的需要，结合编者多年来教学实践的经验和体会编写而成。主要围绕极限、级数、不等式和中值定理等专题，通过大量例题，介绍数学分析中的常用方法和基本技巧。内容包括作为数学分析理论基础的实数理论、求解数列极限的若干典型求法、函数的极限与连续性、微分和积分中值定理、数项级数、函数项级数、不等式、变分法、函数的逼近与开拓以及代数中的分析方法等。每节后配备适量习题，其中难度较大的题目用*号加注。
　　《数学分析中的方法与技巧》可作为数学分析课程的辅助教材。对正在学习数学分析的读者，学过数学分析或高等数学准备学习后继课程的读者，以及准备报考研究生的读者都会有所帮助。另外，还可供青年教师使用和参考。