近世代数基础

第一部分 基础篇

第一章 对称与群

§1.1 平面图形的对称与群

1.1.1 运动群

1.1.2 平面图形对称的数学定义

§1.2 多项式的对称与群

第二章 群

§2.1 群

2.1.1 群的定义

2.1.2 群的同构和反同构

2.1.3 一个写法问题

§2.2 子群

2.2.1 一点准备

2.2.2 子群的定义

2.2.3 两类特殊子群

§2.3 生成元集，循环群

2.3.1 生成元集

2.3.2 循环群

§2.4 子群（续）

2.4.1 平面运动群的有限子群

2.4.2 Sn的子群

§2.5 商群

2.5.1 合同关系与合同划分

2.5.2 商群

2.5.3 商群与正规子群

§2.6 同态

2.6.1 同态的定义

2.6.2 同态与商群

§2.7 有限群

2.7.1 有限群中的数量关系

2.7.2 交换群的子群存在问题

2.7.3 Sylow子群的存在问题

§2.8 单群

§2.9 群在集上的作用

2.9.1 G-集的定义

2.9.2 群的表示与G-集

2.9.3 G-集的结构

2.9.4 G-集的应用

第三章 环与域

§3.1 环与域

3.1.1 环的定义及基本性质

3.1.2 子环

3.1.3 同态、理想、商环

§3.2 环的构造

3.2.1 模仿由Z到Q

3.2.2 模仿由Q到R

3.2.3 模仿由R到e

3.2.4 由群作代数

§3.3 多项式环

3.3.1 冗上一元多项式函数环

3.3.2 R上一元多项式环

3.3.3 两者之间的关系

3.3.4 R上多元多项式环

§3.4 交换环

3.4.1 整环的特征

3.4.2 整环的商环

3.4.3 素理想和极大理想

……

第二部分 选学篇

参考文献

符号表

索引

《面向21世纪课程教材：近世代数基础（第2版）》是教育部“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”的研究成果。全书分为基础篇和选学篇。与第一版相比，基础篇中略去了一些“枝叶”以突出基础，选学篇中则添加有限单环和布尔代数以尝试将非传统内容加入近世代数教科书中。
　　基础篇部分强调群的背景——对称，介绍了抽象群、环、域的基本概念、基本性质和基本内容，以及一些具体群（变换群、置换群、平面运动群）、环（多项式环、函数环、剩余类环）和域（数域、有限域）及其和抽象群、环、域的关联。选学篇部分除介绍近世代数课程的一些传统内容，如有限交换群的结构定理、Galois理论外，还介绍了自由群、有限单环的结构定理、布尔代数、计算代数几何初步——Grobner基等。
　　《面向21世纪课程教材：近世代数基础（第2版）》可作为高等学校数学类专业的教科书，也可供相关专业师生和有关科研人员参考。