高等代数与符号运算

目 录

第1章 矩阵理论初步1

1.1 数域1

1.2 矩阵3

1.3 矩阵的运算7

1.4 矩阵的初等变换19

1.5 矩阵的Mathematica符号运算22第2章 多项式27

2.1 一元多项式27

2.2 多项式的整除与因式分解定理29

2.3 多项式函数33

2.4 复系数与实系数多项式的因式分解36

2.5 有理系数多项式的因式分解39

2.6 多项式的Mathematica符号运算45第3章 行列式49

3.1 引言49

3.2 排列50

3.3 n阶行列式54

3.4 n阶行列式的性质59

3.5 行列式的三角计算法68

3.6 行列式按一行（列）展开72

3.7 克拉默（Cramer）法则82

3.8 行列式的Mathematica符号运算88第4章 线性方程组93

4.1 消元法93

4.2 n维向量空间102

4.3 线性相关性104

4.4 矩阵的秩113

4.5 线性方程组有解的判别定理120

4.6 线性方程组解的结构123

4.7 线性方程组反问题130

4.8 求解线性方程组的Mathematica符号运算134第5章 可逆矩阵139

5.1 矩阵乘积的行列式与秩139

5.2 矩阵的逆矩阵143

5.3 矩阵的分块及其应用149

5.4 初等矩阵及其应用154

5.5 分块乘法的初等变换及应用162

5.6 可逆矩阵的Mathematica符号运算166第6章 二次型173

6.1 二次型及矩阵表示173

6.2 非退化线性替换与二次型的简化175

6.3 标准形183

6.4 唯一性与规范形问题185

6.5 正定二次型189

6.6 二次型的Mathematica符号运算195第7章 线性空间199

7.1 线性空间的定义与简单性质199

7.2 维数、基与坐标203

7.3 基变换与坐标变换207

7.4 线性子空间212

7.5 子空间的交与和216

7.6 子空间的直和221

7.7 线性空间的同构224

7.8 线性空间的Mathematica符号运算227第8章 线性变换231

8.1 线性变换的概念与基本性质231

8.2 线性变换的运算235

8.3 线性变换与矩阵240

8.4 特征值与特征向量251

8.5 可对角化矩阵260

8.6 线性变换的值域与核268

8.7 不变子空间及其应用272

8.8 若当(Jordan)标准形简介277

8.9 线性变换的Mathematica符号运算278第9章 欧几里得空间285

9.1 欧几里得空间的定义与基本性质285

9.2 标准正交基292

9.3 欧几里得空间的同构300

9.4 正交变换302

9.5 子空间的正交与正交补307

9.6 对称变换及其应用310

9.7 最小二乘法及其应用318

9.8 欧几里得空间的Mathematica符号运算321附录 高等代数Mathematica符号运算编程初步327参考文献335

高等代数与符号运算是高等代数经典理论与计算机符号运算的有机结合，是数值分析、最优化方法、微分方程、控制论与矩阵分析、数学模型等数学分支及工程学科的重要应用工具.本书是为适应现代计算技术、工程应用、应用数学研究及数学与应用数学等专业高等代数教学需要而编写的.全书共分9章，包括矩阵理论初步、多项式、行列式、线性方程组、可逆矩阵、二次型、线性空间、线性变换、欧几里得空间理论及应用.内容系统全面，同时还系统介绍了数学软件Mathematica的符号运算方法及应用.本书是作者多年从事高等代数教学与符号运算研究的总结，既可作为理工科高等代数课程的教学用书，也可作为高校理科及相关专业教师、科研及工程人员、研究生等从事科学计算与研究的参考书.