数学物理方程与特殊函数

基础篇

第1章概论

§1.1偏微分方程的基本概念

1.1.1偏微分方程简介

1.1.2定解条件和定解问题

1.1.3定解问题的适定性

1.1.4叠加原理

§1.2数学模型的建立

1.2.1波动问题

1.2.2输运问题

1.2.3稳定场问题

1.2.4三类问题的定解条件

§1.3方程的分类及特征的概念

小结

中英文词汇对照

习题1

第2章分离变量法

§2.1两端固定的弦自由振动问题

§2.2有限长杆上的热传导问题

§2.3二维拉普拉斯方程的边值问题

2.3.1矩形域上拉普拉斯方程的边值问题

2.3.2圆域上拉普拉斯方程的边值问题

§2.4非齐次方程的解法

2.4.1两端固定弦的强迫振动

2.4.2有热源的有限长杆上的热传导

2.4.3泊松方程

§2.5非齐次边界条件的齐次化

§2.6关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论

小结

中英文词汇对照

习题2

第3章行波法

§3.1一阶线性偏微分方程的特征线法

§3.2一维波动方程的初值问题

3.2.1一维齐次波动方程的通解

3.2.2一维齐次波动方程的初值问题

3.2.3解的物理意义

§3.3半无界弦问题

3.3.1端点固定

3.3.2端点自由

§3.4三维波动方程的初值问题

3.4.1三维波动方程的球对称解

3.4.2三维波动方程的泊松公式

3.4.3泊松公式的物理意义

§3.5齐次化原理

小结

中英文词汇对照

习题3

第4章积分变换法

§4.1傅里叶变换

4.1.1傅里叶变换的定义

4.1.2傅里叶变换的性质

4.1.3傅里叶变换求解定解问题举例

§4.2拉普拉斯变换

4.2.1拉普拉斯变换的定义

4.2.2拉普拉斯变换的性质

4.2.3拉普拉斯变换解题举例

小结

中英文词汇对照

习题4

第5章格林函数法

§5.1拉普拉斯方程边值问题的提法

5.1.1内问题

5.1.2外问题

§5.2格林公式

5.2.1格林公式

5.2.2调和函数的积分表达式

5.2.3调和函数的性质

§5.3格林函数

5.3.1格林函数的引入

5.3.2格林函数的性质

§5.4两种特殊区域的格林函数及拉普拉斯方程的第一边值问题的解

5.4.1上半空间的格林函数

5.4.2球形区域内的格林函数

小结

中英文词汇对照

习题5

第6章贝塞尔函数

§6.1贝塞尔方程与贝塞尔函数

§6.2贝塞尔函数的性质

6.2.1整数阶贝塞尔函数

6.2.2贝塞尔函数的递推公式

6.2.3半奇数阶贝塞尔函数

6.2.4贝塞尔函数的零点

§6.3傅里叶-贝塞尔级数

6.3.1贝塞尔函数的正交性

6.3.2傅里叶-贝塞尔级数

§6.4贝塞尔函数在分离变量法中的应用

§6.5虚宗量的贝塞尔函数

小结

中英文词汇对照

习题6

第7章勒让德多项式

§7.1勒让德方程及其求解

§7.2勒让德多项式及其性质

7.2.1勒让德多项式

7.2.2罗德里格斯公式

7.2.3勒让德多项式的递推公式

§7.3傅里叶-勒让德级数

7.3.1勒让德函数的正交性

7.3.2傅里叶-勒让德级数

§7.4勒让德多项式在分离变量法中的应用

§7.5连带的勒让德多项式

小结

中英文词汇对照

习题7

仿真篇

第8章数学物理方程的计算机仿真求解

§8.1偏微分方程工具箱的功能

8.1.1偏微分方程工具箱简介

8.1.2PDEToolbox求解的基本方程类型

8.1.3定解问题的设置最简单的办法

8.1.4用GUI解PDE问题主要使用模式

8.1.5PDEToolbox菜单

§8.2典型方程的仿真求解

8.2.1求解椭圆型方程

8.2.2求解双曲型方程

§8.3常用仿真语句

8.3.1求解方程的仿真语句

8.3.2动画图形显示语句

习题8

第9章特殊函数的计算机仿真应用

§9.1连带勒让德函数、勒让德函数、球函数

9.1.1连带勒让德函数

9.1.2勒让德多项式

9.1.3球函数

9.1.4勒让德多项式的母函数

§9.2贝塞尔函数

9.2.1贝塞尔函数

9.2.2球贝塞尔函数

9.2.3平面波用柱面波形式展开

9.2.4定解问题的图形显示

§9.3其他特殊函数

习题9

应用篇

第10章数学物理方程在其他学科中的应用

§10.1在人口问题中的应用

§10.2在传染病动力学中的应用

§10.3在城市交通问题中的应用

§10.4在生物医药问题中的应用

§10.5在石油开采问题中的应用

§10.6在两相问题中的应用

§10.7在水声物理中的应用

10.7.1波动方程

10.7.2各向均匀的球面波

10.7.3一般球面波

10.7.4球面振速已知的球面波

参考答案

参考文献

附录A傅里叶变换简表

附录B拉普拉斯变换简表

　　本书是一本既符合传统理工科专业教学基本要求，同时还能满足新形式下教学实际需要的教材，全书将数学建模的思想融入主干课程的教学，培养学生的运用能力和创新能力，全书共分为三篇，基础篇主要内容包括偏微分方程的基础知识以及分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法、贝塞尔函数和勒让德多项式；仿真篇包括数学物理方程以及特殊函数的计算机仿真求解简介；应用篇为介绍数学物理方程在生物、医学、电子、物理等实际问题中的应用举例。　　《21世纪大学数学精品教材》为大学本科(本科1普通类和本科2类)数学系列教材，体现了对数学精品的归纳及本套教材的精品特征，具有鲜明的特点，按照统一的指导思想组编而成。　　全书共分三篇：基础篇包括偏微分方程的基础知识以及分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法、贝塞尔函数和勒让德多项式，各章末均配有小结、重要概念英文词汇及中英文习题；仿真篇包括数学物理方程以及特殊函数的计算机仿真求解简介；应用篇主要介绍数学物理方程在生物、医学、电子、物理等实际问题中的应用举例，书末附有傅里叶变换简表和拉普拉斯变换简表。　　本书可作为普通高等院校工科各专业数学物理课程的教材，也可供非数学专业硕士研究生选用。