离散数学

前言

第一部分 数理逻辑

第1章 命题逻辑

1.1 命题及其表示

1.1.1 命题的基本概念

1.1.2 命题分类

1.1.3 命题标识符

1.2 逻辑联结词

1.2.1 否定联结词

1.2.2 合取联结词

1.2.3 析取联结词

1.2.4 条件联结词

1.2.5 双条件联结词

1.2.6 字位运算与布尔检索

1.3 命题公式与解释

1.3.1 命题公式

1.3.2 命题的符号化

1.4 真值表与等价公式

1.4.1 真值表

1.4.2 等价公式

1.5 命题公式的分类与蕴含式

1.5.1 命题公式的分类

1.5.2 重言式与矛盾式的性质

1.5.3 蕴含式

1.6 其他逻辑联结词和最小功能完备联结词组

1.6.1 其他逻辑联结词

1.6.2 最小功能完备联结词组

1.6.3 联结词的逻辑电路表示

1.7 对偶与范式

1.7.1 对偶式与对偶原理

1.7.2 命题公式的范式

1.7.3 命题公式的主析取范式和主合取范式

1.8 推理理论

1.8.1 直接证法

1.8.2 间接证法

习题一

实验一 真值表的程序计算

第2章 谓词逻辑

2.1 谓词的基本概念

2.1.1 个体和谓词

2.1.2 量词

2.2 谓词公式与符号化解释

2.2.1 谓词公式

2.2.2 谓词公式的符号化

2.3 变元的约束

2.3.1 约束变元和自由变元

2.3.2 换名规则

2.3.3 代替规则

2.4 谓词演算的等价式与蕴含式

2.4.1 谓词公式的赋值

2.4.2 谓词公式的分类

2.4.3 谓词演算的等价式

2.4.4 谓词演算的蕴含式

2.5 谓词公式范式

2.5.1 前束范式

2.5.2 斯柯林范式

2.6 谓词演算的推理理论

2.6.1 US规则（Universal Specification，全称指定规则）

2.6.2 UG规则（Universal Generalization，全称推广规则）

2.6.3 ES规则（Existential Specification，存在指定规则）

2.6.4 EG规则（Existential Generalization，存在推广规则）

习题二

实验二 命题逻辑简单推理系统

第3章 基于归结原理的推理证明料

3.1 谓词公式与子句集

3.1.1 斯柯林（Skolem）标准范式

3.1.2 子句与子句集

3.1.3 不可满足意义下的一致性

3.1.4 P=P1∧P2∧

3.2 海伯伦（Herbrand）理论

3.2.1 H域

3.2.2 原子集

3.2.3 H域上的解释

3.3 归结原理（Resolution Method）

3.3.1 置换与合一

3.3.2 命题逻辑中的归结原理

3.3.3 一阶谓词逻辑中的归结原理

3.3.4 归结原理的完备性

3.3.5 利用归结原理进行定理证明

3.3.6 应用归结原理进行问题求解

3.4 归结过程的控制策略

3.4.1 引入控制策略

3.4.2 归结控制策略及其应用举例

习题三

实验三 归结原理的程序实现

第二部分 集合论

第4章 集合及其运算

4.1 集合的概念及其表示

4.1.1 集合的概念

4.1.2 集合与集合间的关系

4.1.3 幂集（Power Set）

4.2 集合的基本运算

4.2.1 集合的并（Union）运算

4.2.2 集合的交（Intersection）运算

4.2.3 集合的交运算与并运算之间的关系

4.2.4 集合的补（Substraction）运算

4.2.5 集合的对称差（Symmetric Difference）运算

4.2.6 集合的计算机表示

4.3 集合中元素的计数

4.3.1 两个基本原理

4.3.2 排列、组合

4.3.3 容斥原理

4.4 集合的应用

4.4.1 数据表的并（U）运算

4.4.2 数据表的差（-）运算

4.4.3 数据表的交（∩）运算

习题四

实验四 集合的基本运算

第5章 二元关系

5.1 集合的笛卡儿积

5.1.1 序偶（Ordered Pair）

5.1.2 笛卡儿积（Cartesian Product）

5.2 二元关系

5.2.1 二元关系的基本概念

5.2.2 二元关系的表示

5.2.3 关系的运算

5.2.4 关系的性质

5.2.5 关系的闭包（Closure）运算

5.3 等价关系

5.3.1 集合的划分（Panion of Set）

5.3.2 等价关系（Equivalent Relation）与等价类

5.4 相容关系

5.4.1 集合的覆盖（Covering）

5.4.2 相容关系（Consistent Relation）与相容类

5.5 偏序关系

5.5.1 偏序关系（Partial Relation）与偏序集的概念

5.5.2 偏序集的哈斯（Hasse）图

5.5.3 偏序集中的特殊元

5.5.4 全序关系（Complete Partial Relation）及其应用

5.6 关系的应用

5.6.1 等价关系在计算机中的应用

5.6.2 序关系在项目管理中的应用

习题五

实验五 求关系的闭包

第6章 函数

6.1 函数的概念

6.1.1 函数（Function）的概念

6.1.2 几类特殊函数

6.2 逆函数与复合函数

6.2.1 逆函数

6.2.2 复合函数

习题六

实验六 函数的图形可视化

第7章 集合的基数

7.1 集合的等势与优势

7.2 基数、可数集与不可数集

7.2.1 基数

7.2.2 可数集与不可数集

7.2.3 基数的比较

习题七

实验七 自然数性质的可视化表示

……

第三部分 代数结构

第四部分 图论

《离散数学》常用符号表

参考文献

《离散数学（第二版）》包含四部分内容：数理逻辑、集合论、代数结构、图论。每部分内容结合建构主义教学理论，设计不同离散数学应用案例，提供学习《离散数学》知识点的应用场景。每一章选择有意义的范例和实验项目，有利于学生通过编程实践增进对离散数学知识的理解和应用，提高学生的学习兴趣。《离散数学（第二版）》体系严谨、叙述深入浅出。每部分内容都分为基础知识章节和高级应用章节（带*部分），便于教师根据学时要求选讲章节内容，适合不同学时的授课，也方便软件开发人员参考应用。《离散数学（第二版）》可作为普通高等学校计算机及相关专业本科生“离散数学”课程的教材，也可供其他专业学生、工作人员及软件开发人员阅读和参考。有些高级应用范例还可供硕士研究生学习参考。