高等数学

第1章 函数 1

1.1 函数 1

1.1.1 常量与变量 1

1.1.2 函数基本知识 4

1.2 复合函数与反函数 5

1.2.1 复合函数 5

1.2.2 反函数 7

1.3 基本初等函数 7

1.3.1 多项式函数 8

1.3.2 有理函数 8

1.3.3 幂函数 8

1.3.4 指数函数 10

1.3.5 对数函数 10

1.3.6 三角函数 10

1.3.7 反三角函数 11

思考题 11

习题 12

第2章 数列极限 14

2.1 数列极限的概念和定义 15

2.2 数列极限的性质 18

2.3 数列极限存在的条件 21

2.3.1 单调数列、数e 21

2.3.2 柯西收敛准则 23

2.4 数列极限的种类及其计算方法 25

2.4.1 无穷大量的种类及比较 25

2.4.2 数列极限的分类及其计算方法 26

思考题 37

习题 37

第3章 函数极限与连续性 41

3.1 函数极限的定义 41

3.2 函数极限的性质 44

3.3 函数极限存在条件 46

3.4 两个重要极限 48

3.5 无穷小量、无穷大量以及渐近线计算 50

3.5.1 无穷小量及其比较 50

3.5.2 无穷大量及其比较 51

3.5.3 渐近线计算 52

3.6 函数的连续性 53

3.6.1 函数在一点的连续性 53

3.6.2 间断点及其分类 55

3.6.3 区间上的连续函数 56

3.6.4 连续函数的简单性质 56

3.6.5 闭区间上连续函数的基本性质 57

3.6.6 一致连续 58

3.7 函数极限分类及算法 59

3.7.1 连续函数的极限 59

3.7.2 ∞∞型极限计算 59

3.7.3 ∞ ∞型极限 60

3.7.4 00型极限 63

3.7.5 与差有关的00型极限计算 64

3.7.6 （1 0）∞+型极限计算 70

3.7.7 11∞ + ∞ 型极限计算 74

思考题 78

习题 79

第4章 导数和微分 83

4.1 导数定义及其几何意义 84

4.1.1 导数引入 84

4.1.2 导数定义 84

4.1.3 导数的几何意义 85

4.2 初等函数的导数计算 86

4.2.1 直接利用定义对计算一些基本初等函数的导数 86

4.2.2 导数计算的基本法则 87

4.2.3 函数的变化率 92

4.3 高阶导数、微分及高阶微分 93

4.3.1 导函数 93

4.3.2 高阶导数运算法则 94

4.3.3 高阶微分 97

4.3.4 微分应用 99

4.4 含参变量的函数导数计算 101

4.5 微分学的几个基本定理 102

4.5.1 罗尔定理 103

4.5.2 拉格朗日中值定理 103

4.6 泰勒级数 106

4.6.1 泰勒公式 106

4.6.2 五个基本初等函数的麦克劳林算式 107

思考题 108

习题 109

第5章 微分学应用 114

5.1 洛必达法则 115

5.1.1 洛必达法则理论依据 115

5.1.2 洛必达法则计算算例 115

5.1.3 使用洛必达法注意事项 120

5.2 极值问题 120

5.2.1 极值点和极值计算 121

5.2.2 拐点和曲线的凹凸性 123

5.2.3 平面曲线的描绘 124

5.3 超越方程和高次方程数值算法 126

5.3.1 牛顿法 126

5.3.2 割线法 127

5.4 *泰勒级数的数值算法 128

5.4.1 代数插值多项式 129

5.4.2 泰勒级数的数值算法 132

思考题 135

习题135

第6章 不定积分 137

6.1 不定积分的引入及其基本性质 137

6.1.1 不定积分引入 137

6.1.2 不定积分基本性质 138

6.2 基本积分表 139

6.3 第一换元法Ⅰ 141

6.3.1 坐标变换法 141

6.3.2 幂函数变换法 142

6.3.3 一般凑微分法 142

6.3.4 函数幂变换法 143

6.4 有理函数积分法 144

6.4.1 简单有理函数 144

6.4.2 一般有理函数的积分 146

6.5 第一换元法Ⅱ 147

6.5.1 R（sinx,cosx）型被积函数的积分 147

6.5.2 形如R（sinh x,cosh x）的积分 152

6.5.3 一些特殊根式函数的积分 153

6.6 第二换元法 155

6.6.1 形如2 2 / 2 （ ） d na x x ∫ 的积分 156

6.6.2 形如2 2 / 2 （ ） d n∫ x ± a x的积分 158

6.7 分部积分法 160

6.7.1 分部积分法的充要条件 160

6.7.2 满足充分条件一的函数类型及其积分 162

6.7.3 满足充分条件二的函数类型及其积分 162

6.7.4 满足充分条件三的函数类型及其积分 163

6.8 混合积分 164

6.8.1 先用第一换元法再用分部积分法积分的函数类型和积分 164

6.8.2 先用分部积分法再用第一换元法的函数类型和积分 167

6.8.3 先用第二换元法再用第一换元法的函数类型和积分 167

6.8.4 先用第一换元法再用第二换元法的函数类型和积分 168

思考题 169

习题 170

第7章 定积分 173

7.1 定积分基本概念 174

7.1.1 定积分引入 174

7.1.2 定积分定义 174

7.1.3 可积函数 176

7.1.4 定积分的几何意义 177

7.2 定积分基本性质 177

7.3 积分学基本定理 179

7.4 定积分中的换元法和分部积分法 181

7.4.1 换元法 182

7.4.2 分部积分法 182

7.4.3 定积分的注意事项 185

7.5 变限积分和微积分学基本定理 187

7.5.1 变限积分 187

7.5.2 原函数的存在性定理 187

7.6 反常积分 189

7.6.1 问题提出 189

7.6.2 区间无限（穷）的反常积分定义 190

7.6.3 无界函数的反常积分 192

7.6.4 无穷积分的性质与收敛判断 193

7.7 定积分算法小结 195

7.7.1 分部积分法算例小结 195

7.7.2 综合算法 196

7.7.3 某些数列的极限计算 198

思考题 199

习题 199

第8章 定积分应用 202

8.1 定积分在几何上的应用 202

8.1.1 计算平面图形面积 202

8.1.2 计算用参数方程描述的曲线所围的面积 204

8.1.3 计算极坐标下图形的面积 205

8.2 曲线长度、曲率半径、柱体、锥体、旋转体体积和表面积计算 206

8.2.1 计算曲线长度 206

8.2.2 计算曲率 208

8.2.3 利用断面面积作体积计算 209

8.2.4 旋转体侧面积 210

8.2.5 定积分在力学、物理上的应用 211

8.3 定积分的数值计算 213

8.3.1 牛顿积分算法 214

8.3.2 代数精确度 216

8.3.3 牛顿积分公式截断误差 217

8.3.4 高斯积分 219

思考题 222

习题 222

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