大学数学竞赛教程

第1讲 函数极限

1.1 内容概述

1.2 典型例题分析

【题型1-1】0/0型极限

【题型1-2】三型极限

【题型1-3】∞一∞型与0·∞型极限

【题型1-4】1∞型、O°型和∞°型的极限

【题型1-5】证明极限存在或估计极限的范围

【题型1-6】估计无穷小量的阶或求无穷小量的主部

【题型1-7】无穷大量的阶或比较

【题型1-8】已知某极限求另一极限，或求其中的参数，或求抽象函数的函数值

【题型1-9】有界函数×无穷小量问题

【题型1-10】综合问题

1.3 精选备赛练习

1.4 答案与提示

第2讲 数列极限

2.1 内容概述

2.2 典型例题分析

【题型2-1】n项和Sn的极限

【题型2-2】n项乘积的极限

【题型2-3】递推数列的极限

【题型2-4】施瓦茨定理及应用

【题型2-5】其他数列极限问题

2.3 精选备赛练习

2.4 答案与提示

第3讲 连续、导数与微分

3.1 内容概述

3.2 典型例题分析

【题型3-1】函数的连续性的讨论

【题型3-2】连续函数的介值问题

【题型3-3】可导性的判断与按定义求导数的有关问题

【题型3-4】反函数、隐函数，由参数方程确定的函数的高阶导数

【题型3-5】一般显函数的n阶导数

【题型3-6】导函数的相关性质

3.3 精选备赛练习

3.4 答案与提示

第4讲 微分中值定理与导数的应用

4.1 内容概述

4.2 典型例题分析

【题型4-1】中值的存在性问题

【题型4-2】不等式的证明

【题型4-3】函数的性态以及方程的根的讨论

4.3 精选备赛练习

4.4 答案与提示

第5讲 不定积分

5.1 内容概述

5.2 典型例题分析

【题型5-1】概念性题目

【题型5-2】用直接积分法计算不定积分

【题型5-3】用凑微分法计算不定积分

【题型5-4】用换元积分法计算不定积分

【题型5-5】用分部积分法计算不定积分

【题型5-6】有理函数、三角函数的有理式、无理函数的积分

【题型5-7】综合例题

5.3 精选备赛练习

5.4 答案与提示

第6讲 定积分与反常积分

6.1 内容概述

6.2 典型例题分析

【题型6-1】定积分的计算

【题型6-2】利用某些积分公式计算定积分

【题型6-3】定积分概念的有关问题

【题型6-4】变限积分的相关问题

【题型6-5】定积分等式与不等式的证明

【题型6-6】反常积分的计算

【题型6-7】定积分的应用

6.3 精选备赛练习

6.4 答案与提示

第7讲 微分方程

7.1 内容概述

7.2 典型例题分析

【题型7-1】通过变换解微分方程

【题型7-2】能够化为欧拉方程的问题

【题型7-3】能够化为可降阶的二阶微分方程的问题

【题型7-4】综合题

【题型7-5】应用题

7.3 精选备赛练习

7.4 答案与提示

第8讲 矢量代数与空间解析几何

8.1 内容概述

8.2 典型例题分析

【题型8-1】矢量的运算

【题型8-2】平面与直线

【题型8-3】曲面与曲线

8.3 精选备赛练习

8.4 答案与提示

第9讲 多元函数微分学

9.1 内容概述

9.2 典型例题分析

【题型9-1】求二重极限或证明二重极限不存在

【题型9-2】判断函数连续、偏导数存在、可微以及方向导数存在的问题

【题型9-3】求偏导数问题

【题型9-4】极值及最值问题

【题型9-5】综合问题

9.3 精选备赛练习

9.4 答案与提示

第10讲 重积分

10.1 内容概述

10.2 典型例题分析

【题型10-1】在直角坐标系和极坐标系下计算二重积分

【题型10-2】用二重积分的一般代换公式计算二重积分

【题型10一3】三重积分的计算

【题型10-4】重积分的应用

10.3 精选备赛练习

10.4 答案与提示

第11讲 曲线积分

11.1 内容概述

11.2 典型例题分析

【题型11-1】第一型曲线积分的计算

【题型11-2】平面第二型曲线积分的计算

【题型ll一3】空间第二型曲线积分

【题型11-4】曲线积分与路径无关的条件的应用

【题型11-5】综合题

11.3 精选备赛练习

11.4 答案与提示

第12讲 曲面积分

12.1 内容概述

12.2 典型例题分析

【题型12-1】第一型曲面积分的计算

【题型12-2】第二型曲面积分的计算

【题型12-3】综合题

12.3 精选备赛练习

12.4 答案与提示

第13讲 无穷级数

13.1 内容概述

13.2 典型例题分析

【题型13-1】通过计算数项级数的部分和求级数的和

【题型13-2】利用比值判别法、根值判别法对正项级数判敛

【题型13-3】使用比较判别法及其极限形式对正项级数的判敛

【题型13-4】变号级数判敛

【题型13-5】通项包含有抽象数列的级数的敛散性证明

【题型13-6】求幂级数的收敛区间与收敛域

【题型13-7】将函数展开为幂级数

【题型13-8】求幂级数的和函数

【题型13-9】利用幂级数求数项级数的和

【题型13-10】利用级数讨论反常积分的敛散并求积分

【题型13一11】综合题

13.3 精选备赛练习

13.4 答案与提示

附录

首届全国大学生数学竞赛预赛试题及参考解答（非数学类，2009）

首届全国大学生数学竞赛决赛试题及参考解答（非数学类，2010）

第二届中国大学生数学竞赛预赛试题及参考解答（非数学类，2010）

第二届全国大学生数学竞赛决赛试题及参考解答（非数学类，2011）

第三届全国大学生数学竞赛预赛试题及参考解答（非数学类，2011）

第三届全国大学生数学竞赛决赛试题及参考解答（非数学类，2012）

第四届全国大学生数学竞赛预赛试题及参考解答（非数学类，2012）

第四届全国大学生数学竞赛决赛试题及参考解答（非数学类，2013）

第五届全国大学生数学竞赛预赛试题及参考解答（非数学类，2013）

第五届全国大学生数学竞赛决赛试题及参考解答（非数学类，2014）

《大学数学竞赛教程/普通高等院校数学精品教材》是依据全国大学生数学竞赛（非数学专业）高等数学竞赛大纲，为正在准备竞赛的大二及以上本科学生编写的一本辅导书。它既可作为竞赛培训教材，也可作为自学教程，还可作为考研复习的参考书。
　　考虑到竞赛的特点，全书通过13讲对高等数学课程内容进行了分类整合，每一讲包括内容概述、典型例题分析、精选备赛练习、答案与提示4个部分，其中典型例题分析按题型给出了解题策略和方法。详细分析解题思路，引导学生思考，是每一讲的核心内容。为了使读者了解大学生数学竞赛（非数学专业）的难度，在附录中给出了近5年全国大学生数学竞赛（非数学专业）试题与解答（预赛、决赛）。
　　本书注重数学思想的渗透与解题方法的指导，内容覆盖面广、针对性强。实践证明，本书能使读者在较短时间内融会贯通高等数学的概念、理论，提高分析问题的水平和解题能力，从容面对竞赛。