变分法基础

前言

第1章 预备知识

1.1 泰勒公式

1.2 含参变量的积分

1.3 场论基础

1.4 直角坐标与极坐标的坐标变换

1.5 变分法基本引理

1.6 求和约定、克罗内克尔符号和排列符号

1.7 张量的基本概念

1.8 常用不等式

1.9 名家介绍

习题1

第2章 固定边界的变分问题

2.1 古典变分问题举例

2.2 变分法的基本概念

2.3 最简泛函的变分与极值的必要条件

2.4 最简泛函的欧拉方程

2.5 欧拉方程的几种特殊类型及其积分

2.6 依赖于多个一元函数的变分问题

2.7 依赖于高阶导数的变分问题

2.8 依赖于多元函数的变分问题

2.9 完全泛函的变分问题

2.10 欧拉方程的不变性

2.11 名家介绍

习题2

第3章 泛函极值的充分条件

3.1 极值曲线场

3.2 雅可比条件和雅可比方程

3.3 魏尔斯特拉斯函数与魏尔斯特拉斯条件

3.4 勒让德条件

3.5 泛函极值的充分条件

3.6 泛函的高阶变分

3.7 名家介绍

习题3

第4章 可动边界的变分问题

4.1 最简泛函的变分问题

4.2 含有多个函数的泛函的变分问题

4.3 含有高阶导数的泛函的变分问题

4.4 含有多元函数的泛函的变分问题

4.5 具有尖点的极值曲线

4.6 单侧变分问题

4.7 名家介绍

习题4

第5章 条件极值的变分问题

5.1 完整约束的变分问题

5.2 微分约束的变分问题

5.3 等周问题

5.4 混合型泛函的极值问题

5.5 名家介绍

习题5

第6章 参数形式的变分问题

6.1 曲线的参数形式及齐次条件

6.2 参数形式的等周问题和测地线

6.3 可动边界参数形式泛函的极值

习题6

第7章 变分原理

7.1 集合与映射

7.2 集合与空间

7.3 标准正交系与傅里叶级数

7.4 算子与泛函

7.5 泛函的导数

7.6 算子方程的变分原理

7.7 与自共轭常微分方程边值问题等价的变分问题

7.8 与自共轭偏微分方程边值问题等价的变分问题

7.9 弗里德里希斯不等式和庞加莱不等式

7.10 名家介绍

习题7

第8章 变分问题的直接方法

8.1 极小(极大)化序列

8.2 欧拉有限差分法

8.3 里茨法

8.4 坎托罗维奇法

8.5 伽辽金法

8.6 最小二乘法

8.7 算子方程的特征值和特征函数

8.8 名家介绍

习题8

第9章 力学中的变分原理及其应用

9.1 力学的基本概念

9.2 虚位移原理

9.3 最小势能原理

9.4 余虚功原理

9.5 最小余能原理

9.6 哈密顿原理及其应用

9.7 赫林格-赖斯纳广义变分原理

9.8 胡海昌-鹫津久一郎广义变分原理

9.9 莫培督-拉格朗日最小作用量原理

9.10 名家介绍

习题9

附录1 习题全解

附录2 索引

参考文献

本书是变分法方面的专著，书中系统地介绍变分法的基本理论及其应用。
　　编写本书的目的是希望为高等院校的研究生和高年级大学生提供一本学习变分法课程的教材或教学参考书，使他们能够熟悉变分法的基本概念和计算方法。内容包括预备知识、固定边界的变分问题、可动边界的变分问题、泛函极值的充分条件、条件极值的变分问题、参数形式的变分问题、变分原理、变分问题的直接方法和力学中的变分原理及其应用。其中一部分内容是作者多年来的研究成果，特别是提出了完全泛函的极值函数定理，统一了变分法中的各种欧拉方程。本书也可供有关专业的教师和科技人员参考。
　　本书概念清楚，逻辑清晰，内容丰富，深入浅出，便于自学，既注重方法的介绍，又不失数学的系统性、科学性和严谨性。书中列有大量例题和习题，并附有中英文索引。为了帮助读者解决学习中遇到的困难，本书给出了各章共226道习题的全部解答，供读者参考。

《变分法基础》（第2版）概念清楚，逻辑清晰，内容丰富，深入浅出，便于自学，既注重方法的介绍，又不失数学的系统性、科学性和严谨性。书中列有大量例题和习题，并附有中英文索引。为了帮助读者解决学习中遇到的困难，《变分法基础》（第2版）给出了各章共226道习题的全部解答，供读者参考。