高等数学中典型及疑难问题解析

《高等数学中典型及疑难问题解析》

前言

第一单元 函数、极限与连续

一、知识脉络图解

二、考试要点分析

考点1 函数表达式及四个性质

考点2 求未定型函数极限

考点3 已知极限，确定参数或求另一个函数的极限

考点4 数列极限

考点5 无穷小量阶的比较

考点6 判别函数的连续性

考点7 讨论函数的间断点

考点8 闭区间上连续函数的性质

三、常见问题剖析

四、专项练习实例

五、考研实战练习

第二单元 单变量微分学

一、知识脉络图解

二、考试要点分析

考点1 导数的定义

考点2 利用导数定义求导

考点3 有关可导性的几个常用结论

考点4 导数计算

考点5 罗尔定理的应用

考点6 拉格朗日中值定理的应用

考点7 柯西中值定理的应用

考点8 泰勒公式的应用

考点9 利用函数的单调性证明不等式

考点10 函数的单调性、凹凸性、极值点、拐点的判别

考点11 的图形与 的图形

考点12 讨论方程的根

三、常见问题剖析

四、专项练习实例

五、考研实战练习

第三单元 一元函数积分学

一、知识脉络图解

二、考试要点分析

考点1 原函数的概念

考点2 积分变限函数求导问题

考点3 对称区间上的积分

考点4 分部积分法中的"移项"与"消项"

考点5 利用恒等变形计算积分

考点6 分部积分中的"先拆后分"

考点7 分段函数和含绝对值函数的积分

考点8 周期函数的积分

考点9 有理函数与三角有理式的积分

考点10 广义积分

考点11 积分不等式与等式的证明

考点12 定积分的应用

三、常见问题剖析

四、专项练习实例

五、考研实战练习

第四单元 向量代数与空间解析几何

一、知识脉络图解

二、考试要点分析

考点1 向量之间的关系

考点2 常用二次曲面的方程及其图形

考点3 空间曲线在坐标面上的投影

考点4 空间直线、平面方程、点、线在某平面上的投影，点到直线和平面距离的求法

三、常见问题剖析

四、专项练习实例

五、考研实战练习

第五单元 多元函数微分学

一、知识脉络图解

二、考试要点分析

考点1 有关二重极限、函数连续、偏导数存在、可微之间的关系

考点2 复合函数的偏导数与全微分

考点3 隐函数的偏导数与全微分

考点4 函数极值与条件极值

考点5 多元函数微分法的几何应用（仅数一要求）

考点6 方向导数与梯度（仅数一要求）

三、常见问题剖析

四、专项练习实例

五、考研实战练习

第六单元 重积分

一、知识脉络图解

二、考试要点分析

考点1 二重积分的换序

考点2 分区域积分

考点3 利用对称性计算二重积分

考点4 积分区域边界由参数方程确定的二重积分

考点5 直角坐标系下，三重积分的计算

考点6 利用柱坐标计算三重积分

考点7 利用球面坐标计算三重积分

考点8 利用对称性计算三重积分

考点9 重积分的应用

三、常见问题剖析

四、专项练习实例

五、考研实战练习

第七单元 曲线积分与曲面积分

一、知识脉络图解

二、考试要点分析

考点1 第一型曲线积分的计算

考点2 第二型曲面积分的计算

考点3 第一型曲面积分的有关计算

考点4 第二型曲面积分的计算

考点5 高斯公式

三、常见问题剖析

四、专项练习实例

五、考研实战练习

第八单元 级数

一、知识脉络图解

二、考试要点分析

考点1 数项级数的性质

考点2 正项级数敛散性的判别

考点3 绝对收敛与条件收敛的判别

考点4 求幂级数的收敛半径和收敛域

考点5 求幂级数的和函数

考点6 函数展开为幂级数

考点7 在 或 上展为傅里叶（Fourier）级数

三、常见问题剖析

四、专项练习实例

五、考研实战练习

第九单元 常微分方程

一、知识脉络图解

二、考试要点分析

考点1 几类一阶微分方程

考点2 可降阶的高阶方程

考点3 线性微分方程解的性质与结构

考点4 常系数线性微分方程

考点5 利用变量替换解微分方程

考点6 微分方程有关应用

三、常见问题剖析

四、专项练习实例

五、考研实战练习

《高等数学中典型及疑难问题解析》共分九个单元，内容包括函数、极限与连续、导数与微分、微分中值定理与导数应用、不定积分、微分方程、定积分及其应用、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学和无穷级数。
　　《高等数学中典型及疑难问题解析》主要针对想提高数学能力以及考研、数学竞赛成绩的同学编写。考虑到这一部分同学已具备一定的数学基础和解题能力，我们安排了大量的例题，尽量采用一题多解、一题多变的的方式，侧重分析解题思路、方法和技巧，培养读者灵活的分析能力和解决问题的能力。