大学数学

前言

第1章函数

1.1实数集

1.1.1集合

1.1.2逻辑符号

1.1.3有理数集和实数集

1.1.4区间和邻域

1.1.5不等式

1.1.6数集的界

1.2函数

1.2.1函数的概念

1.2.2函数的运算

1.2.3函数的简单性质

1.2.4初等函数

1.2.5双曲函数

1.2.6由隐方程、参数方程或极坐标方程表示的函数

1.2.7函数图形的变换

习题1

第2章极限与连续

2.1数列的极限

2.1.1数列

2.1.2数列极限的定义

2.1.3无穷小和无穷大

2.2数列极限的性质和运算法则

2.2.1数列极限的性质

2.2.2数列极限的运算法则

2.3数列极限存在的判别法

2.3.1夹逼定理

2.3.2单调有界数列极限存在定理

2.4函数的极限

2.4.1函数极限的定义

2.4.2函数极限的性质、运算法则和判别法

2.4.3两个重要的函数极限

2.4.4无穷小的比较

2.5函数的连续性

2.5.1函数连续的定义

2.5.2函数间断点的分类

2.5.3连续函数的运算

2.5.4初等函数的连续性

2.6闭区间上连续函数的性质

习题2

第3章导数与微分

3.1导数的概念

3.1.1典型例子

3.1.2导数的定义

3.1.3可导与连续的关系

3.2微分

3.2.1微分的概念

3.2.2微分与导数的关系

3.2.3微分的几何意义

3.2.4微分应用于近似计算及误差估计

3.3导数与微分的运算法则

3.3.1导数的四则运算法则

3.3.2复合函数的导数

3.3.3反函数的导数

3.3.4基本导数和微分公式表

3.4隐函数与参数方程求导法

3.4.1隐函数的导数

3.4.2由参数方程所确定的函数的导数

3.5导数概念在实际问题中的应用

3.5.1一些学科中的变化率问题举例

3.5.2相关变化率

3.6高阶导数

3.6.1高阶导数的概念

3.6.2高阶导数运算法则和Leibniz公式

3.6.3隐函数的高阶导数和参数方程表示的函数的高阶导数

习题3

第4章微分中值定理与导数的应用

4.1微分中值定理

4.1.1Fermat定理

4.1.2Rolle定理

4.1.3Lagrange定理

4.1.4Cauchy定理

4.2LHospital法则

4.3Taylor公式及其应用

4.3.1Taylor定理

4.3.2一些简单函数的Maclaurin公式及其应用

4.4利用导数研究函数性态

4.4.1函数的单调性

4.4.2函数的极值和最值

4.4.3函数的凸性与拐点

4.4.4函数图形的描绘

4.5平面曲线的曲率

4.5.1曲线弧长概念及其微分

4.5.2曲率和曲率公式

4.6方程的近似解

4.6.1二分法

4.6.2Newton切线法

习题4

第5章积分

5.1定积分的概念

5.1.1典型实例

5.1.2定积分的定义

5.1.3函数可积的条件

5.2定积分的性质

5.2.1定积分的运算性质

5.2.2积分中值定理

5.3微积分基本定理

5.3.1原函数与变上限积分

5.3.2Newton．Leibniz公式

5.4不定积分

5.4.1不定积分的概念和性质

5.4.2基本积分表

5.4.3第一换元法

5.4.4第二换元法

5.4.5分部积分法

5.4.6几类常见函数的不定积分

5.5定积分的计算

5.5.1定积分的换元法

5.5.2定积分的分部积分法

5.5.3定积分的综合例题

5.5.4定积分的近似计算

5.6定积分的应用

5.6.1微元法

5.6.2定积分的几何应用

5.6.3定积分的物理应用

5.7反常积分

5.7.1无穷区间上的反常积分

5.7.2无界函数的反常积分

习题5

第6章微分方程

6.1微分方程的基本概念

6.2一阶微分方程

6.2.1可分离变量方程

6.2.2齐次微分方程和其他可化为可分离变量形式的方程

6.2.3一阶线性微分方程

6.3某些可降阶的高阶微分方程

6.4线性微分方程解的结构

6.4.1二阶线性齐次微分方程解的结构

6.4.2二阶线性非齐次方程解的结构

6.5常系数线性微分方程

6.5.1常系数线性齐次方程

6.5.2常系数线性非齐次方程

6.5.3Euler方程

6.6微分方程的数值解

6.7微分方程的应用举例

习题6

习题参考答案

　　本教材是在上海交通大学高等数学课程建设和教学改革的基础上形成的，同时也是对原有教材《微积分》多年使用实践的总结和提高。其主要特点是：特别注重对微积分的基本思想和基本方法的阐述，尽可能突出极限、导数和积分等重要概念，努力从多种视角解释这些数学概念的背景、内涵以及它们之间的有机联系。其次，在教材中适度渗入现代数学观点和表达形式，例如在多元部分采取向量表示指出二维Green公式和三维Gauss公式具有相同表达形式，从而揭示它们是微积分基本定理在多元情况下的推广、指出线性微分方程解集合具有线性空间结构等以及某些数学符号的采用都是这方面的尝试。虽然本教材从整体框架而言保持了传统微积分的基本内容和结构，但是上述特点体现了编者在高等数学课程改革方面的一些思考与探索，同时教材也反映了上海交通大学高等数学课程的特色和定位。　　本书是普通高等教育“十一五”国家级规划教材“大学数学”系列教材之一，在上海交通大学高等数学课程多年教学实践的基础上编写而成。　　本书注重微积分的思想和方法，重视概念和理论的阐述与分析。结合教材内容，适当介绍一些历史知识，指出微积分发展的背景和线索，以提高读者对微积分的兴趣和了解。重视各种数学方法的运用和解析，如分析和综合法、类比法、特殊到一般法、数形结合法等等。探索在微积分中适度渗入一些现代数学的思想和方法。　　本书内容包括函数、极限与连续、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、积分、微分方程等6章。在内容的安排和阐述上力求朴素明了，深入浅出。例题精心选择，类型丰富，由易到难，解法中融入各种数学基本方法且加以点评，有助于使读者领会和掌握各种数学思维方法，也有利于读者自学。同时配以丰富的习题，易难结合，帮助读者通过练习巩固和提高微积分的知识和方法。　　本书适用于高等学校理工类各专业，也可供工程技术人员参考。