复分析及其在数值数学中的应用

前言

第1章 复数回顾

1.1 复数

1.2 复数的算术运算

1.3 共轭复数复数的模

1.4 复数的几何表示

1.5 复数的幂与方根

1.6 无穷远点及Riemann球面

第2章 极限与连续

2.1 平面点集

2.2 聚点、开集、闭集

2.3 复数序列

2.4 区域

2.5 Jordan曲线

2.6 复变量函数的极限与连续性

第3章 解析函数

3.1 复变函数的导数

3.2 导数的初步应用

3.3 Cauchy-Riemann方程

3.4 Cauchy-Riemann方程的极坐标形式

3.5 Cauchy-Riemann方程的一些推论

3.6 Laplace方程与调和函数

3.7 单叶函数反函数

3.8 幂级数

第4章 初等函数

4.1 多项式及有理函数

4.2 指数函数

4.3 对数函数

4.4 幂函数

4.5 三角函数双曲函数

第5章 复积分

5.1 围道

5.2 围道积分

5.3 Cauchy-Goursat定理

5.4 Cauchy-Goursat定理的推广

5.5 不定积分

5.6 Cauchy积分公式

5.7 导数的Cauchy积分公式

5.8 Cauchy不等式

5.9 Liouviile定理

5.10 Morera定理

第6章 矩阵函数及其应用

6.1 向量与矩阵的范数、Gelfand定理

6.2 矩阵的微分与围道积分

6.3 矩阵函数

6.4 矩阵函数的Cauchy积分表示

6.5 谱映象定理及其应用

6.6 矩阵函数的连续性定理

6.7 矩阵幂An的一致有界性（Kreiss定理）

6.8 Von-Nuemann定理及应用

6.9 Nevanlinna定理

第7章 保角映射

7.1 初等函数的几何面貌

7.2 保角映射

7.3 弧长的微分关系

7.4 p=p（z）的作用

7.5 线性变换

7.6 线性变换的例

7.7 Riemann映射定理

7.8 MSbius映射的一个应用（von-Nuemann定理）

第8章 函数项级数、函数的展开

8.1 函数序列

8.2 函数项级数

8.3 Taylor展开

8.4 Laurent展开式

8.5 Taylor级数与Laurent级数之例

8.6 （Log）的Laurent展开

8.7 解析函数的零点分布

8.8 解析函数的最大模原理，调和函数的极值原理.

8.9 一类有理分式的最大模原理及Hurwitz定理

8.10 解常微分方程的单步法

8.11 解常微分方程的多步法

第9章 复函数奇点的分类

9.1 序言

9.2 可去奇点

9.3 极

9.4 本性奇点Picard定理

9.5 零点的聚点

9.6 函数f（z）在无穷远处的性态

9.7 有理函数的特性

9.8 一类特征函数的零点分布（I）

第10章 残数及其应用

10.1 残数及计算

10.2 残数定理

10.3 辐角原理

10.4 用残数定理求定积分

10.5 儒歇（Rouche）定理

10.6 一类滞后差分方程的稳定性

10.7 一类特征函数的零点分布（II）

第11章 整函数及半纯函数

11.1 无穷乘积

11.2 整函数

11.3 半纯函数

11.4 半纯函数的Cauchy分解法

第12章 解析开拓

12.1 解析开拓的定义

12.2 解析开拓之唯一性定理

12.3 完全解析函数

12.4 解析开拓的幂级数方法

12.5 单值性定义及单值性定理

第13章 多值函数

13.1 多值函数的概念

13.2 Riemann曲面

13.3 定义于Riemann曲面上的函数

13.4 代数函数

第14章 一类特征函数的零点分布Ⅲ

14.1 序言

14.2 特征函数P（s，T1，T2，，Td）的零点分布

14.3 某些推论

14.4 Runge-Kutta方法的NP稳定性

14.5 中立型微分代数方程的渐近性态

第15章 数值方法的L型稳定性

15.1 差分方程的性质

15.2 特征函数P（ζ）的零点分布

15.3 θ方法的PL稳定性（L型稳定性）

15.4 Runge-Kutta方法的GPL稳定性

参考文献

附录 多复变函数论初步

A.1 多复变全纯函数

A.2 Cauchy-Riemann方程

A.3 唯一性定理，开映射定理，最大模原理

A.4 多圆盘上的Cauchy积分公式

A.5 Hartogs定理，Hartogs现象

A.6 Reinhardt域上的全纯函数

索引

《复分析及其在数值数学中的应用》主要介绍复分析的主要内容及其应用。全书共分15章和一个附录，主要包括复函数的微分学与积分学，幂级数理论及Laurent展开，残数理论及幅角原理，解析函数的最大模原理及调和函数的极值原理，解析函数的唯一性定理及零点理论，整函数与半纯函数，Riemann曲面及代数函数理论，复分析在矩阵分析、常微分方程及泛函微分方程的定性理论和上述方程数值方法稳定性理论中的应用等等。
《复分析及其在数值数学中的应用》可作为计算数学、应用数学及相关专业的教学与参考用书，也可供相关科学与工程技术人员参考之用。