微积分中的图形解析

1 函数

1．1 线性函数

1．2 函数y=f（x）图形的左右平移

1．3 函数y=f（x）图形的上下移动

1．4 函数y=f（x）图形的压缩、拉伸变换

1．5 已知函数y=f（x）的图形，试作函数y=f（x）的图形

1．6 已知函数y=f（x），y=g（x）的图形，试作函数y=f（x）=f（x）±g（x）的图形

1．7 已知函数y=f（x）的图形。试作函数y=f（1/x）的图形

1．8 已知函数y=f（x）的图形，试作y一灭豸的图形

1．9 隐函数F（x，y）=O的图形

1．10 符号函数sgnx及其相关函数的图形

1．11 欧拉（Euler）曲线与笛卡尔（Descartes）叶形线的图形

1．11．1 欧拉曲线

1．11．2 笛卡尔叶形线

1．12 画不出函数图形的狄利克雷（Dirichlet）函数和黎曼（Riemann）函数

1．12．1 狄利克雷函数

1．12．2 黎曼函数

2 极限

2．1 由极限定义的函数的图形

2．2 两个重要极限的相关函数的图形

2．2．1 重要极限一

2．2．2 重要极限二

2．3 渐近线、渐近近似曲线

2．3．1 直角坐标系中的渐近线

2．3．2 渐近近似曲线

2．4 极坐标系中曲线的渐近线与渐近圆

2．4．1 极坐标系中曲线的渐近线

2．4．2 极坐标系中曲线的渐近圆

3 连续

3．1 函数y=f（x）在x=x0处连续的定义

3．2 函数y=f（x）在点x=x0处间断及间断点分类与示例

3．3 特殊函数的连续与间断

4 导数与微分

4．1 微分三角形与曲线图形的特性

4．1．1 函数y=f（x）为凹向、增函数的微分三角形

4．1．2 函数y=f（x）为凸向、减函数的微分三角形

4．2 函数y=f（x）的图形上切线和法线的有关线段

4．2．1 直角坐标系中的情形

4．2．2 极坐标系中的情形

4．3 曲线的切线导出曲线

4．4 曲线的密切圆与曲率圆

4．4．1 曲线的密切圆

4．4．2 曲线的曲率图

4．5 曲线族的包络线

4．5．1 曲线族

4．5．2 包络线

4．6 抛物线y=a+bx+cx2的切线作图法

4．7 图解微分（求导）法

4．8 处处连续却处处不可导的函数曲线特征

5 二元函数

5．1 二元函数z=f（x，y）的三维图形

5．1．1 空间曲面方程与曲面形态及其在三维坐标系中的位置关系

5．1．2 二次曲面的形态的识别

5．1．3 曲面z=f（x，y）与平面x=x0及平面y=y0的截交线

5．1．4 曲面z=f（x，y）与平面z=z0的截交线：等高线（层线）

5．1．5 二元函数z=f（x，y）的曲面图（地形图）

5．1．6 坐标变换下的曲面图

5．2 二元函数的极限

5．2．1 二元函数的二重极限

5．2．2 二元函数的累次极限

5．2．3 二重极限与二次极限的关系

5．3 二元函数的连续性

5．4 二元函数的增量、偏导数与全微分

5．4．1 二元函数的增量

5．4．2 二元函数的偏导数与偏微分

5．5 二元函数z=f（x，y）的方向导数与梯度

5．5．1 二元函数z=f（x，y）的方向导数

5．5．2 二元函数z=f（x，y）的梯度

5．6 二元函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处有极值的必要条件与充分条件

5．6．1 二元函数z=f（x，y）的极值的定义

5．6．2 二元函数z=f（x，y）在点（x0，y0）产生极值的必要条件

5．6．3 二元函数z=f（x，y）在点（x0，y0）产生极值的充分条件

6 积分

6．1 平面图形的面积的概念

6．2 平面曲边图形的面积看作极限

6．3 曲边四边形的面积作为和式的极限——表达为定积分

6．4 变动的曲边四边形面积是曲边y=f（x）的原函数

6．5 微分中值定理与积分中值定理的联系

6．6 图解积分法

参考书目

《微积分中的图形解析》是从图形的视角加深理解微积分的基本理论与方法的教学辅导书。内容主要包括一元函数及其极限、连续、导数、微分、积分的平面曲线图形以及二元函数的空间曲面图形。着重加强普通微积分教材略过的一些重要概念的图形特征的阐述，例如曲线族的包络线，图解求导法，平面图形面积的概念，牛顿—莱布尼兹公式的图形意义，空间曲面的曲面图及方向导数与梯度的概念的图形特征等。