李群和李代数

绪论

第1章 预备知识

1.1 光滑流形和光滑映射

1.1.1 光滑流形

1.1.2 光滑映射

1.1.3 光滑子流形

习题1.1

1.2 光滑流形上的光滑向量场和微分形式

1.2.1 光滑流形的切空间和余切空间

1.2.2 光滑映射的切映射和余切映射

1.2.3 光滑流形上的向量场

习题1.2

1.3 流形上的光滑外微分形式

1.3.1 外微分形式

1.3.2 流形上的积分

习题1.3

1.4 拓扑群

1.4.1 拓扑群的定义和例子

1.4.2 拓扑群的一些基本性质

1.4.3 同态、子群和商群

1.4.4 拓扑群在拓扑空间上的作用

习题1.4

1.5 拓扑群的线性表示理论

1.5.1 拓扑群的线性表示的定义

1.5.2 子表示和商表示

1.5.3 Schur引理

习题1.5

第2章 李群的基本理论

2.1 李群和李代数的定义与例子

2.1.1 李群的定义和例子

2.1.2 李代数的定义和例子

习题2.1

2.2 李群的李代数

习题2.2

2.3 李群的局部性质

习题2.3

2.4 单参数子群和指数映射

2.4.1 单参数子群

2.4.2 指数映射

2.4.3 李群上的Taylor公式

习题2.4

2.5 子群、同态和同构

2.5.1 同态和同构的进一步性质

2.5.2 李群的子群和李代数的子代数

2.5.3 李群之间的局部同态

2.5.4 Cartan的闭子群引理

习题2.5

2.6 线性李群和线性李代数

习题2.6

2.7 商空间和商群

习题2.7

2.8 覆叠群

习题2.8

2.9 李群及李代数的自同构群和伴随表示

2.9.1 李群和李代数的自同构群

2.9.2 李群和李代数的表示

2.9.3 李群和李代数的伴随表示

习题2.9

第3章 可解李代数、幂零李代数、约化李代数和半单李代数

3.1 可解李代数和幂零李代数

习题3.1

3.2 约化李代数

习题3.2

3.3 半单李代数

习题3.3

3.4 Cartan的可解性判别法

3.4.1 Cartan的可解性判别法

3.4.2 可解李代数和半单李代数的关系

习题3.4

第4章 紧李代数的结构和分类

4.1 紧李群上的不变积分

习题4.1

4.2 紧李代数的Cartan子代数和Cartan分解

习题4.2

4.3 紧李代数的根系和结构

习题4.3

4.4 抽象根系和素根系

4.4.1 根系

4.4.2 素根系

习题4.4

4.5 Weyl群和Weyl房

习题4.5

4.6 Dynkin图的分类

习题4.6

4.7 紧李群的Cartan子群的共轭性

习题4.7

4.8 紧李代数的分类

习题4.8

4.9 复半单李代数的分类

习题4.9

第5章 紧李代数的自同构群和表示论

5.1 紧李代数的自同构群

习题5.1

5.2 紧李代数的表示理论

习题5.2

参考文献

《21世纪高等学校研究生教材：李群和李代数》是现代数学中的基本的研究对象，在整个数学大厦中占有重要的位置。如果把整个数学看成一个按重要性从中心往外发展的一个系统，那么李群和李代数必定位于这一系统的中心附近。