集合与对应

前言

第一讲集合

1.1集合／1

1.2从属关系／2

1.3包含／4

1.4并与交／5

1.5差与补／7

1.6维恩图／8

1.7有关集合的等式(I)／10

1.8对称差／13

1.9有关集合的等式(Ⅱ)／16

1.10有关集合的等式(Ⅲ)／20

1.11容斥原理(I)／23

1.12容斥原理(Ⅱ)／27

第二讲映射

2.1映射／30

2.2复合映射／32

2.3有限集到自身的映射／34

2.4构造映射(I)／36

2.5构造映射(Ⅱ)／39

2.6函数方程(I)／42

2.7函数方程(Ⅱ)／46

2.8函数方程(Ⅲ)／51

2.9链／54

2.10图／58

第三讲有限集的子集

3.1子集的个数／62

3.2两两相交的子集／64

3.3奇偶子集／65

3.4另一种奇偶子集／67

3.5格雷厄姆的一个问题／69

3.6三元子集族(I)／73

3.7三元子集族(Ⅱ)／76

3.8施泰纳三元系／80

3.9构造／84

3.10分拆(I)／89

3.11分拆(Ⅱ)／92

3.12覆盖／96

3.13斯特林数／98

3.14M(n，k，h)／103

第四讲各种子集族

4.1S族／107

4.2链／111

4.3迪尔沃思定理／116

4.4李特尔伍德一奥福德问题／119

4.5J族／123

4.6EKR定理的推广／129

4.7影／133

4.8米尔纳定理／137

4.9上族与下族／140

4.10四函数定理／144

4.11H族／149

4.12相距合理的族／154

第五讲无限集

5.1无限集／160

5.2可数集／163

5.3连续统的基数／167

5.4基数的比较／170

5.5直线上的开集与闭集／176

5.6康托尔的完备集／179

5.7库拉托夫斯基定理／182

第三部分对应

第六讲映射的应用

6.1映射与一一对应／192

6.2淘汰赛／195

6.3锯立方体／196

6.4棋盘上的方格／197

6.5对称／199

6.6集合自身的对称／200

6.7自然数的因数／202

6.8国际象棋中的象／204

6.9“连城”游戏／206

6.10加德纳的游戏／208

6.11穿过多少个方格／209

6.12恒等映射／211

6.13复合映射／212

6.14逆映射／213

6.15单射／215

6.16密码／217

6.17魔术师／219

6.18让你猜不出／220

6.19一个较复杂的例子／222

第七讲计数

7.1阿凡提的驴／225

7.2乘法原理／226

7.3因数的个数／228

7.4映射的个数／229

7.5吃巧克力的方案／231

7.6排列／232

7.7河马／234

7.8圆周上的排列／236

7.9组合／238

7.10加法原理／241

7.11问题举隅(I)／244

7.12问题举隅(Ⅱ)／248

7.13两个几何问题／250

7.14最短路线／252

7.15允许重复的组合／254

7.16线性方程的整数解／256

7.17关于集合的一个问题／258

第八讲卡塔兰数

8.1n边形的剖分／261

8.2添括号／262

8.3惠特沃思路线／264

8.4圆周上的点／266

8.5互不相交的弦／268

8.6找零钱的问题／270

8.7有序数组的个数／272

8.8排队问题／274

8.9不与y=z相交的路线／276

8.10投票记录／277

8.11夏皮罗路线／280

第九讲表示

9.1表示与坐标／284

9.2猜年龄的奥妙／286

9.3自然数的其他表示／287

9.4斐波那契数／290

9.5两种状态／293

9.6奇偶性／294

9.7抽屉原则／297

9.8表数为2i.i／300

9.9运算／301

9.10同余／303

9.11同态／304

9.12中国剩余定理／305

9.13群／306

9.14缩系／308

9.15洗牌问题／310

9.16紧凑的El程表／311

9.17图形的妙用／313

9.18横竖一样／315

9.19图论问题／317

9.20外切的圆／319

9.21兰福德问题／321

9.22斯科伦问题／325

参考答察及提示／333

　　本书分为两个部分，第一部分为集合，第二部分为对应，由以前写的两本小册子《集合及其子集》与《对应》合并后经适当修订而成。集合论，是全部数学的基础。数学大师康托尔(Cantor)建立了基数、序型等重要概念，将研究从有限集推进到无限集，创立了集合论这一数学分支。近30年来，随着组合数学的蓬勃发展，关于有限集及其子集族，又有很多的研究，得出了很多重要而且优美的结果。“对应”也是一个极基本的数学概念。这本小册子通过许多初等问题介绍了集合与对应，希望能起到抛砖引玉的作用。【作者简介】　　单墫，我国著名的数学传播普及和数学竞赛专家，1964年毕业于扬州师范学院数学系，在中学、大学任教40多年，1983年获理学博士学位(我国首批18名博士之一)，1991年获全国优秀教师称号，1991年7月起享受政府特殊津贴，1992年被评为国家有突出贡献的巾青年专家，1995年被评为省“优秀学科带头人”，曾任南京师范大学数学系主任，中国数学奥林匹克委员会委员、教练组组长，南京市数学学会理事长，主要从事数论与组合方面的研究，很多成果达到国际先进水平，1989年作为中国数学奥林匹克代表队副领队、主教练，1990年作为领队，率队参IMO均获总分第一，为我国数学竞赛事业作出很大贡献。