离散数学及其应用

出版者的话

译者序

前言

第1章 基础:逻辑和证明

1.1 命题逻辑

1.1.1 引言

1.1.2 命题

1.1.3 条件语句

1.1.4 复合命题的真值表

1.1.5 逻辑运算符的优先级

1.1.6 翻译语句

1.1.7 系统规范说明

1.1.8 布尔检索

1.1.9 逻辑难题

1.1.10 逻辑运算和位运算

练习

1.2 命题等价

1.2.1 引言

1.2.2 逻辑等价

1.2.3 德摩根律的运用

1.2.4 构建新的逻辑等价式

练习

1.3 谓词和量词

1.3.1 引言

1.3.2 谓词

1.3.3 量词

1.3.4 其他量词

1.3.5 约束论域量词

1.3.6 量词的优先级

1.3.7 绑定变量

1.3.8 涉及量词的逻辑等价

1.3.9 否定量化表达式

1.3.10 翻译语句为逻辑表达式

1.3.11 在系统说明中运用量词

1.3.12 选自lewiscarroll的例子

1.3.13 逻辑程序设计

练习

1.4 嵌套量词

1.4.1 引言

1.4.2 量词的顺序

1.4.3 将数学语句翻译成涉及嵌套量词的语句

1.4.4 将嵌套量词翻译为汉语

1.4.5 将汉语语句翻译成逻辑表达式

1.4.6 否定嵌套量词

练习

1.5 推理规则

1.5.1 引言

1.5.2 命题逻辑的有效论证

1.5.3 命题逻辑的推理规则

1.5.4 用推理规则建立论证

1.5.5 消解

1.5.6 谬误

1.5.7 带量词命题的推理规则

1.5.8 命题推理和量化语句推理规则的结合

练习

1.6 证明导论

1.6.1 引言

1.6.2 一些专用术语

1.6.3 定理陈述的理解

1.6.4 证明定理的方法

1.6.5 直接证明

1.6.6 反证法

1.6.7 归谬证明

1.6.8 证明中的错误

1.6.9 仅仅是开始

练习

1.7 证明的方法和策略

1.7.1 引言

1.7.2 穷举证明和分情形证明

1.7.3 存在性证明

1.7.4 唯一性证明

1.7.5 证明策略

1.7.6 寻找反例

1.7.7 行动证明策略

1.7.8 填充

1.7.9 未解决问题的作用

1.7.1 0其他证明方法

练习

关键术语和结果

复习题

补充练习

计算机题目

计算和研究

写作题目

第2章 基本结构：集合、函数、数列与求和

2.1 集合

2.1.1 引言

2.1.2 幂集合

2.1.3 笛卡儿积

2.1.4 使用带量词的集合符号

2.1.5 量词的真值集合

练习

2.2 集合运算

2.2.1 引言

2.2.2 集合恒等式

2.2.3 扩展的并集和交集

2.2.4 计算机表示集合的方式

练习

2.3 函数

2.3.1 引言

2.3.2 一对一函数和映上函数

2.3.3 反函数和函数组合

2.3.4 函数的图像

2.3.5 几个重要的函数

练习

2.4 序列与求和

2.4.1 引言

2.4.2 序列

2.4.3 特殊的整数序列

2.4.4 求和

2.4.5 基数

练习

关键术语与结果

复习题

补充练习

计算机课题

计算和研究

写作题目

第3章 基础：算法、整数和矩阵

3.1 算法

3.1.1 引言

3.1.2 搜索算法

3.1.3 排序

3.1.4 贪心算法

3.1.5 停机问题

练习

3.2 函数的增长

3.2.1 引言

3.2.2 大o记号

3.2.3 一些重要的大o结果

3.2.4 函数组合的增长

3.2.5 大氪箬记号

练习

3.3 算法的复杂度

3.3.1 引言

3.3.2 时间复杂度

3.3.3 理解算法的复杂度

练习

3.4 整数和除法

3.4.1 引言

3.4.2 除法

3.4.3 带余除法

3.4.4 同余算术

3.4.5 同余应用

3.4.6 密码学

练习

3.5 素数和最大公约数

3.5.1 引言

3.5.2 素数

3.5.3 关于素数的猜想和一些未解决问题

3.5.4 最大公约数和最小公倍数

练习

3.6 整数和算法

3.6.1 引言

3.6.2 整数表示

3.6.3 整数运算算法

3.6.4 同余幂

3.6.5 欧几里得算法

练习

3.7 数论应用

3.7.1 引言

3.7.2 若干有用的结果

3.7.3 线性同余

3.7.4 中国剩余定理

3.7.5 大整数计算机算术

3.7.6 伪素数

3.7.7 公钥密码学

3.7.8 rsa密码系统

3.7.9 rsa加密

3.7.10 rsa解密

3.7.11 用rsa作为公钥系统

练习

3.8 矩阵

3.8.1 引言

3.8.2 矩阵算术

3.8.3 矩阵乘法算法

3.8.4 矩阵转置和幂

3.8.5 0-1矩阵

练习

关键术语和结果

复习题

补充练习

计算机题目

计算和研究

写作题目

第4章 归纳与递归

4.1 数学归纳法

4.1.1 引言

4.1.2 数学归纳法

4.1.3 利用数学归纳法证明的例子

4.1.4 为什么说数学归纳法是有效的

4.1.5 使用数学归纳法时犯的错误

练习

4.2 强归纳法与良序性

4.2.1 引言

4.2.2 强归纳法

4.2.3 利用强归纳法证明的例子

4.2.4 计算几何学中使用强归纳法

4.2.5 利用良序性证明

练习

4.3 递归定义与结构归纳法

4.3.1 引言

4.3.2 递归地定义函数

4.3.3 递归地定义集合与结构

4.3.4 结构归纳法

4.3.5 广义归纳法

练习

4.4 递归算法

4.4.1 引言

4.4.2 证明递归算法的正确性

4.4.3 递归与迭代

4.4.4 归并排序

练习

4.5 程序正确性

4.5.1 引言

4.5.2 程序验证

4.5.3 推理规则

4.5.4 条件语句

4.5.5 循环不变量

练习

关键术语和结果

复习题

补充练习

计算机题目

计算和研究

写作题目

第5章 计数

5.1 计数的基础

5.1.1 引言

5.1.2 基本的计数原则

5.1.3 比较复杂的计数问题

5.1.4 容斥原理

5.1.5 树图

练习

5.2 鸽巢原理

5.2.1 引言

5.2.2 广义鸽巢原理

5.2.3 巧妙使用鸽巢原理

练习

5.3 排列与组合

5.3.1 引言

5.3.2 排列

5.3.3 组合

练习

5.4 二项式系数

5.4.1 二项式定理

5.4.2 帕斯卡恒等式和三角形

5.4.3 其他的二项式系数恒等式

练习

5.5 排列与组合的推广

5.5.1 引言

5.5.2 有重复的排列

5.5.3 有重复的组合

5.5.4 具有不可区别物体的集合的排列

5.5.5 把物体放入盒子

练习

5.6 生成排列和组合

5.6.1 引言

5.6.2 生成排列

5.6.3 生成组合

练习

关键术语和结果

复习题

补充练习

计算机题目

计算和研究

写作题目

第6章 离散概率

6.1 离散概率引论

6.1.1 引言

6.1.2 有限概率

6.1.3 事件组合的概率

6.1.4 概率的推理

练习

6.2 概率论

6.2.1 引言

6.2.2 概率指派

6.2.3 事件的组合

6.2.4 条件概率

6.2.5 独立性

6.2.6 伯努利试验与二项分布

6.2.7 随机变量

6.2.8 生日问题

6.2.9 蒙特卡罗算法

6.2.10 概率方法

练习

6.3 贝叶斯定理

6.3.1 引言

6.3.2 贝叶斯定理

6.3.3 贝叶斯spam过滤器

练习

6.4 期望值和方差

6.4.1 引言

6.4.2 期望值

6.4.3 期望的线性性质

6.4.4 平均情形下的计算复杂度

6.4.5 几何分布

6.4.6 独立随机变量

6.4.7 方差

6.4.8 切比雪夫不等式

练习

关键术语和结果

复习题

补充练习

计算机题目

计算和研究

写作题目

第7章 高级计数技术

7.1 递推关系

7.1.1 引言

7.1.2 递推关系

7.1.3 用递推关系构造模型

练习

7.2 求解线性递推关系

7.2.1 引言

7.2.2 求解常系数线性齐次递推关系

7.2.3 常系数线性非齐次的递推关系

练习

7.3 分治算法和递推关系

7.3.1 引言

7.3.2 分治递推关系

练习

7.4 生成函数

7.4.1 引言

7.4.2 关于幂级数的有用事实

7.4.3 计数问题与生成函数

7.4.4 使用生成函数求解递推关系

7.4.5 使用生成函数证明恒等式

练习

7.5 容斥

7.5.1 引言

7.5.2 容斥原理

练习

7.6 容斥原理的应用

7.6.1 引言

7.6.2 容斥原理的另一种形式

7.6.3 埃拉托色尼筛

7.6.4 映上函数的个数

7.6.5 错位排列

练习

关键术语和结果

复习题

补充练习

计算机题目

计算和研究

写作题目

第8章 关系

8.1 关系及其性质

8.1.1 引言

8.1.2 函数作为关系

8.1.3 集合的关系

8.1.4 关系的性质

8.1.5 关系的组合

练习

8.2 n元关系及其应用

8.2.1 引言

8.2.2 n元关系

8.2.3 数据库和关系

8.2.4 n元关系的运算

8.2.5 sql

练习

8.3 关系的表示

8.3.1 引言

8.3.2 用矩阵表示关系

8.3.3 用图表示关系

练习

8.4 关系的闭包

8.4.1 引言

8.4.2 闭包

8.4.3 有向图的路径

8.4.4 传递闭包

8.4.5 沃舍尔算法

练习

8.5 等价关系

8.5.1 引言

8.5.2 等价关系

8.5.3 等价类

8.5.4 等价类与划分

练习

8.6 偏序

8.6.1 引言

8.6.2 字典顺序

8.6.3 哈塞图

8.6.4 极大元素与极小元素

8.6.5 格

8.6.6 拓扑排序

练习

关键术语和结果

复习题

补充练习

计算机题目

计算和研究

写作题目

第9章 图

9.1 图和图模型

练习

9.2 图的术语和几种特殊的图

9.2.1 引言

9.2.2 基本术语

9.2.3 一些特殊的简单图

9.2.4 偶图

9.2.5 特殊类型的图的一些应用

9.2.6 从旧图到新图

练习

9.3 图的表示和图的同构

9.3.1 引言

9.3.2 图的表示

9.3.3 邻接矩阵

9.3.4 关联矩阵

9.3.5 图的同构

练习

9.4 连通性

9.4.1 引言

9.4.2 通路

9.4.3 无向图的连通性

9.4.4 有向图的连通性

9.4.5 通路与同构

9.4.6 计算顶点之间的通路数

练习

9.5 欧拉通路与哈密顿通路

9.5.1 引言

9.5.2 欧拉通路与欧拉回路

9.5.3 哈密顿通路与哈密顿回路

练习

9.6 最短通路问题

9.6.1 引言

9.6.2 最短通路算法

9.6.3 旅行商问题

练习

9.7 可平面图

9.7.1 引言

9.7.2 欧拉公式

9.7.3 库拉图斯基定理

练习

9.8 图着色

9.8.1 引言

9.8.2 图着色的应用

练习

关键术语和结果

复习题

补充练习

计算机题目

计算和研究

写作题目

第10章 树

10.1 概述

10.1.1 树作为模型

10.1.2 树的性质

练习

10.2 树的应用

10.2.1 引言

10.2.2 二叉搜索树

10.2.3 决策树

10.2.4 前缀码

10.2.5 博弈树

练习

10.3 树的遍历

10.3.1 引言

10.3.2 通用地址系统

10.3.3 遍历算法

10.3.4 中缀、前缀和后缀记法

练习

10.4 生成树

10.4.1 引言

10.4.2 深度优先搜索

10.4.3 宽度优先搜索

10.4.4 回溯

10.4.5 有向图中的深度优先搜索

练习

10.5 最小生成树

10.5.1 引言

10.5.2 最小生成树算法

练习

关键术语和结果

复习题

补充练习

计算机题目

计算和研究

写作题目

第11章 布尔代数

11.1 布尔函数

11.1.1 引言

11.1.2 布尔表达式和布尔函数

11.1.3 布尔代数恒等式

11.1.4 对偶性

11.1.5 布尔代数的抽象定义

练习

11.2 布尔函数的表示

11.2.1 积之和展开式

11.2.2 函数完全性

练习

11.3 逻辑门电路

11.3.1 引言

11.3.2 门的组合

11.3.3 电路的例子

11.3.4 加法器

练习

11.4 电路的极小化

11.4.1 引言

11.4.2 卡诺图

11.4.3 无需在意的条件

11.4.4 奎因莫可拉斯基方法

练习

关键术语和结果

复习题

补充练习

计算机题目

计算和研究

写作题目

第12章 计算模型

12.1 语言和文法

12.1.1 引言

12.1.2 短语结构文法

12.1.3 短语结构文法的类型

12.1.4 派生树

12.1.5 巴克斯诺尔范式

练习

12.2 带输出的有限状态机

12.2.1 引言

12.2.2 带输出的有限状态机

练习

12.3 不带输出的有限状态机

12.3.1 引言

12.3.2 串的集合

12.3.3 有限状态自动机

12.3.4 有限状态机的语言识别

12.3.5 非确定型有限状态自动机

练习

12.4 语言的识别

12.4.1 引言

12.4.2 正则集合

12.4.3 克莱因定理

12.4.4 正则集合和正则文法

12.4.5 一个不能由有限状态自动机识别的集合

12.4.6 一些更强大的机器

练习

12.5 图灵机

12.5.1 引言

12.5.2 图灵机的定义

12.5.3 用图灵机识别集合

12.5.4 用图灵机计算函数

12.5.5 不同类型的图灵机

12.5.6 丘奇图灵论题

12.5.7 计算复杂度、可计算性和可判定性

练习

关键术语和结果

复习题

补充练习

计算机题目

计算和研究

写作题目

附录a实数和正整数公理

附录b指数函数和对数函数

附录c伪代码

推荐读物

参考文献

《离散数学及其应用（原书第6版）》是经典的离散数学教材，为全球多所大学广为采用。《离散数学及其应用（原书第6版）》全面而系统地介绍了离散数学的理论和方法，内容涉及数学推理、组合分析、离散结构、算法思维以及应用与建模。全书取材广泛，除包括定义、定理的严密陈述外，还配备大量的实例和图表的说明、各种练习和题目以及丰富的历史资料和网站资源。第6版在前五版的基础上做了大量的改进，使其成为更有效的教学工具。
《离散数学及其应用（原书第6版）》可作为高等院校数学、计算机科学和计算机工程等专业的教材或参考书。

《离散数学及其应用（原书第6版）》是介绍离散数学理论和方法的经典教材，已经成为采用率最高的离散数学教材，仅在美国就被600多所高校用作教材，获得了极大的成功。中文版也已被国内大学广泛采用为教材。第6版在前五版的基础上做了大量的改进．使其成为更有效的教学工具。
《离散数学及其应用（原书第6版）》可作为1至2个学期的离散数学课入门教材，适用于数学、计算机科学、计算机工程、信息技术等专业的学生。
第6版的特点
易入门：实践证明《离散数学及其应用（原书第6版）》对初学者来说易读易懂。
灵活：本教材为灵活使用做了精心设计，各章对其前面内容的依赖降到最小。
写作风格：直接和实用。
数学严密性和准确性：书中所有定义和定理的陈述都十分详细，以确保语言的准确性和数学所需的严密性。
实例：书中有750多个实例，用于阐明概念，联系不同内容，并引入各种应用。
应用：书中叙述的应用展示了离散数学在解决现实问题中的使用价值，涉及的应用领域包括计算机科学、数据网络、心理学、化学、工程、语言学、生物学、商业和互联网等。
算法：离散数学的结论常常要用算法来表示，因此《离散数学及其应用（原书第6版）》每一章都介绍了一些关键算法。这些算法既可以用文字叙述，也可以用更易于理解的结构化伪码来叙述。附录C对伪码作了描述和规范。《离散数学及其应用（原书第6版）》对所有算法的计算复杂性也都给出了初步的分析。
历史资料：《离散数学及其应用（原书第6版）》对许多主题的背景作了简要介绍，并以脚注的形式给出了65位对离散数学做出过重要贡献的数学家和计算机科学家的简短传记。
关键术语和结论：每一章后面都列出了本章的关键术语和结论。
丰富的练习、复习题和补充练习：新版增加了400多道练习，使全书的总练习数达到3800多道。《离散数学及其应用（原书第6版）》不仅提供了足够多的简单习题用于练习基本技巧，还提供了大量的中等难度的练习和许多有挑战性的练习，以满足不同层次学生的学习需求。同时，每章最后都有一组复习题和一组丰富多样的补充练习。
计算机课题：每一章后面还有一组计算机课题，大约有150个这样的题目，把学生已经学到的计算和离散数学的内容结合在一起。
计算和研究：每一章的结论部分都有一组计算和研究性问题，为学生提供了通过计算发现新事实或新思想的机会。
写作题目：每一章后面都有一组应该书面完成的题目。要完成这类题目，学生需要查阅参考文献，把数学概念和书面写作的过程结合在一起，以帮助学生研究和思考正文中没有深入探讨的思想，便于其未来的学习和研究。