计算机代数讲义

第一章引言

1.1计算机代数介绍

1.2计算机代数系统简史

1.3计算机代数系统Maple简介

1.4描述算法的一些术语和记号

习题一

第二章数据的表示与基本运算

2.1大整数的表示与运算

2.1.1大整数的加法

2.1.2大整数的乘法

2.1.3大整数的除法

2.1.4最大公因数

2.2多项式的表示与计算

2.2.1一元多项式

2.2.2多元多项式

2.2.3可计算域k上的n元多项式

2.3同余与中国剩余定理

2.3.1整数的同余

2.3.2多项式的同余

2.3.3插值与中国剩余定理

2.4环与理想

2.4.1环的概念

2.4.2环的理想

2.4.3唯一分解环

2.4.4扩张定理

习题二

第三章结式与子结式

3.1结式的概念与基本性质

3.2多项式的公共零点与重根判定

3.3行列式多项式

3.4子结式

3.5子结式链定理

3.6子结式与余式序列

3.7其他结式

习题三

第四章整系数多项式的模算法

4.1求一元多项式的最大公因子

4.2求多元多项式的最大公因子

4.2.1二元多项式

4.2.2n元多项式

4.3adic表示

4.3.1整系数多项式的p-矿adic表示

4.3.2Newton迭代

4.3.3解Diophantus方程

4.4一元多项式的因子分解

4.4.1无平方分解

4.4.2Berlekamp算法

4.4.3Hertsel提升方法

4.5多元多项式的分解算法

习题四

第五章特征集方法

5.1约化三角列

5.2特征集与吴Ritt算法

5.2.1吴零点分解定理

5.2.2吴Ritt算法

5.3不可约三角列

5.4正则三角列

5.5几何定理证明

习题五

第六章Grobner基

6.1项序

6.2Grobner基

6.3Buchberger算法

6.4计算多项式理想

6.5解代数方程组

6.5.1Hilbert零点定理

6.5.2零维理想的零点

习题六

第七章实系数多项式

7.1多项式根的界

7.2实根个数判定

7.2.1Sturm-Tarski定理

7.2.2Fourier序列

7.3判别式系统

7.4实代数数及其表示

7.5实代数数的计算

习题七

第八章实闭域上的量词消去

8.1实闭域

8.1.1实闭域公理系统

8.1.2实闭域的几个基本性质

8.2半代数集

8.3柱代数分解

8.4命题代数与量词消去

习题八

第九章形式积分

9.1微分域与微分扩张

9.2有理函数的积分

9.2.1部分分式

9.2.2将积分拆为有理部分和对数部分

9.2.3求积分的对数部分

9.3初等函数的积分

9.3.1Liouville原理

9.3.2对数函数积分

9.3.3指数函数积分

9.3.4代数函数积分

习题几

参考文献

索引

　　本书主要从数学角度讲述了各种符号计算的算法及其理论依据，包括数的计算、多项式计算、模运算、实代数计算及量词消去、形式微分和积分等，共分为九章。本书可作为高等院校数学专业和计算机科学专业高年级学生及研究生的教材，也可为其他专业研究者和工程技术人员提供参考。　　计算机代数是研究符号计算的算法设计、理论分析和计算机实现的学科。本书介绍计算机代数的基本知识、算法及其理论依据。主要内容包括数与多项式的基本运算、模运算、子结式链的构造、求多项式最大公因子和因式分解算法、特征集方法、Gr6bner基、实代数数运算、实闭域上的量词消去以及形式积分等。本书侧重陈述经典方法，并采用通俗的语言解说算法的数学理论。　　本书可作为高等院校数学专业和计算机科学专业高年级学生及研究生的教材，也可为其他专业研究者和工程技术人员提供参考。