数值分析导论

第1章泰勒多项式

1.1泰勒多项式

1.2泰勒多项式的逼近误差

1.3多项式求值

第2章误差和计算机算术运算

2.1浮点数

2.1.1浮点表示的精度

2.1.2舍入和截断

2.1.3浮点算术运算程序设计的结果

2.2误差：定义、来源和例题

2.2.1误差的来源

2.2.2有效数字损失的误差

2.2.3函数求值中的噪声

2.2.4下溢误差和上溢误差

2.3误差的传播

2.4求和

2.4.1舍入与截断的比较

2.4.2循环误差

2.4.3内积的计算

第3章求根

3.1对分法

3.2牛顿法

3.2.1误差分析

3.2.2误差估计

3.3割线法

3.3.1误差分析

3.3.2牛顿法和割线法的比较

3.3.3MATLAB函数fzero

3.4不动点迭代

3.4.1艾特肯误差估计和外推

3.4.2高阶迭代公式

3.5病态的求根问题

第4章插值和逼近

4.1多项式插值

4.1.1线性插值

4.1.2二次插值

4.1.3高次插值

4.1.4差商

4.1.5差商的性质

4.1.6牛顿差商插值公式

4.2多项式插值的误差

4.2.1另一个误差公式

4.2.2误差的性态

4.3插值样条函数

4.3.1样条插值

4.3.2插值的自然三次样条的构造

4.3.3其他插值样条函数

4.3.4MATLAB程序spline

4.4最佳逼近问题

4.5切比雪夫多项式

4.5.1三项递推关系

4.5.2最小取值范围性质

4.6近似极小极大逼近方法

4.7最小二乘逼近

4.7.1勒让德多项式

4.7.2求解最小二乘逼近

4.7.3一般的最小二乘逼近

第5章数值积分和数值微分

5.1梯形法和辛普森法

5.2误差公式

5.2.1梯形法误差的渐近估计

5.2.2辛普森法的误差公式

5.2.3理查森外推法

5.2.4周期被积函数

5.3高斯数值积分

5.4数值微分

5.4.1利用插值的微分

5.4.2待定系数法

5.4.3函数值误差的影响

第6章线性方程组数值求解

6.1线性方程组

6.2矩阵算术运算

6.2.1算术运算

6.2.2初等行运算

6.2.3矩阵的逆

6.2.4矩阵代数法则

6.2.5线性方程组的可解性理论

6.3高斯消元法

6.3.1部分选主元

6.3.2逆矩阵的计算

6.3.3运算量

6.4LU分解

6.4.1高斯消元法的紧凑变形

6.4.2三对角方程组

6.4.3解线性方程组的MATLAB内置函数

6.5解线性方程组中的误差

6.5.1残差校正方法

6.5.2解线性方程组中的稳定性

6.6迭代法

6.6.1雅可比法和高斯赛德尔法

6.6.2一般的迭代格式

6.6.3残差校正方法

第7章数值线性代数：续篇

7.1最小二乘数据拟合

7.1.1线性最小二乘逼近

7.1.2多项式最小二乘逼近

7.2本征值问题

7.2.1特征多项式

7.2.2对称矩阵的本征值

7.2.3非对称本征值问题

7.2.4幂法

7.2.5幂法的收敛性

7.2.6MATLAB本征值计算

7.3非线性方程组

7.3.1牛顿法

7.3.2一般方程组的牛顿法

7.3.3修正牛顿法

第8章常微分方程数值解

8.1常微分方程理论简介

8.1.1一般可解性理论

8.1.2初值问题的稳定性

8.1.3方向场

8.2欧拉方法

8.3欧拉方法的收敛性分析

8.3.1渐近误差分析

8.3.2理查森外推

8.4数值稳定性，隐式方法

8.4.1向后欧拉方法

8.4.2梯形方法

8.5泰勒方法和龙格-库塔方法

8.5.1龙格-库塔方法

8.5.2误差预报和控制

8.5.3MATLAB内置函数

8.6多步法

8.7微分方程组

8.7.1高阶微分方程

8.7.2方程组的数值方法

8.8两点边值问题的有限差分法

第9章偏微分方程的有限差分法

9.1泊松方程

9.2一维热传导方程

9.2.1半离散化

9.2.2显式全离散化

9.2.3隐式全离散化

9.3一维波动方程

附录A中值定理

附录B数学公式

B.1代数

B.2几何

B.3三角

B.4微积分

附录C数值分析软件包

C.1商用软件包

C.2共享软件包

C.3交互的数值计算环境

C.4符号计算环境

C.5数学软件的文献

附录DMATLAB简介

附录E二进制数系

E.1从十进制到二进制的转换

E.2十六进制数系

部分习题答案

参考文献

索引

　　本书的目的是使学生对数值分析的一些数值计算方法以及计算过程中的误差概念和理论有初步的了解，书中给出了大部分算法的MATLAB程序，可避免编写过多的程序，大大地节省了学生的时间，同时，指导学生从网上得到有关的程序及其他的课程材料，鼓励学生实验性地学习数值方法。　　作为一本教材，它配有许多习题，有些习题可作为有关理论的进一步说明或深入研究的材料，其中大多数习题能用计算器或计算机程序完成，十分利于培养学生的独立思考和动手能力。　　本书是一本数值分析的入门教材，出自两位著名的数值分析学家，被美国多所大学用作教材。全书包括9章，涉及方程的求解，插值与逼近，数值积分与微分，线性方程组的解等较初级的内容，以及最小二乘数据拟合、本征值问题、非线性方程组等较高级主题。书中有大量MATLAB程序，并在附录中介绍了MATLAB。本书习题丰富，书后还附有习题参考答案，有利于初学者自学。　　本书可以作为高等院校教学、工程等各理工科专业本科生的数值分析教材，也可供有关领域的研究人员和工作人员参考。