工程科学中的应用分析

1 ODE 10

1.1 Basic notions

1.2 Local existence

1.2.1 Normed spaces and fixed point theorem

1.2.2 Applications to ODE system and linear algebraic system

1.3 Critical point

1.4 Plane analysis for the Duffing equation

1.5 Homoclinic orbit and limit cycle

1.6 Stability and Lyapunov function

1.7 Bifurcation

1.8 Chaos: Lorenz equations and logistic map

2 Parabolic Equations 53

2.1 Introduction: BVP and IBVP, equilibrium

2.2 Dispersion relation, linear and nonlinear stability

2.3 Invariant domain

2.4 Perturbation method

2.5 Traveling waves

2.6 Burgers' equation and Cole-Hopf transform

2.7 Evolutionary Duffing equation

3 Elliptic Equations 85

3.1 Sobolev spaces

3.2 Variational Formulation

3.3 Neumann boundary value problem

4 Hyperbolic Equations 93

4.1 Linear advection equation, characteristics method

4.2 Nonlinear hyperbolic equations

4.3 Discontinuities in inviscid Burgers' equation

4.4 Elementary waves in inviscid Burgers' equation

4.5 Wave interactions in inviscid Burgers' equation

4.6 Elementary waves in a polytropic gas

4.7 Riemann problem in a polytropic gas

4.8 Elementary waves in a polytropic ideal gas

4.9 Soliton and inverse scattering transform

《工程科学中的应用分析》的读者对象是高年级本科生和研究生，先修基础为微积分、线性代数、常微分方程和数学物理方程。基本出发点包括：
　　一，在物理科学、工程科学等方向的大学数学课程中，即便在理科见长的学校，一般也只讲授线性理论，而绝大多数理工科研究生从事的前沿研究工作都是关于非线性问题的，本课程着眼于填补学生在这方面的需求，针对常微分方程、抛物型方程、椭圆型方程和双曲型方程，侧重讲授其非线性理论与分析方法。
　　二，数学对于物理、力学和其它工程科学，不仅提供了叙述、分析的方法，更重要的是提供了严谨的思维训练和研究范式，在本科高年级和研究生阶段，通过展示数学对于专业课程内容中典型问题（如分岔、激波）的解读，可以帮助学生欣赏严谨性、系统性之美，强化学生的理性思维能力。
　　因此，本书不求全，不求深，主要通过一些典型的例子（如多方气体欧拉方程组），选择一些比较易懂、易用的方法，讲细讲透。因此，对于椭圆型方程这样有着完整、丰富数学理论但需要很多数学基础的内容，我们只是略讲一点初学者容易理解接受的部分。由于深感泛函分析的重要性，课程中穿插了一些相关内容（赋范线性空间、不动点、变分法、Fredholm择一原理等）。此外，还通过混沌、孤子等重要非线性现象的介绍，激发学生对于非线性问题及相关数学理论方法的兴趣。

《工程科学中的应用分析》是作者自1998年以来，先后7次在北京大学力学系和工学院开设全英文课程《应用分析》、《非线性力学》、《高等数理方程》的讲义，获得北京大学出版社及教育部双语示范建设项目的支持。
　　《工程科学中的应用分析》内容简明扼要、讲述清晰深入，能够帮助读者快速建立对应用分析这一方向的认识。本书以英文写就，作者对英文的运用非常熟练，行文通达晓畅，对于想提高专业英语水平的本科生或研究生来说尤其有帮助。