离散数学

第1章 数学语言与证明方法

1.1 常用的数学符号

1.1.1 集合符号

1.1.2 运算符号

1.1.3 逻辑符号

1.2 集合及其运算

1.2.1 集合及其表示法

1.2.2 集合之间的包含与相等

1.2.3 集合的幂集

1.2.4 集合的运算

1.2.5 基本集合恒等式及其应用

1.3 证明方法概述

1.3.1 直接证明法和归谬法

1.3.2 分情况证明法和构造性证明法

1.3.3 数学归纳法

1.4 递归定义

习题

第2章 命题逻辑

2.1 命题逻辑基本概念

2.1.1 命题与联结词

2.1.2 命题公式及其分类

2.2 命题逻辑等值演算

2.2.1 等值式与等值演算

2.2.2 联结词完备集

2.3 范式

2.3.1 析取范式与合取范式

2.3.2 主析取范式与主合取范式

2.4 推理

2.4.1 推理的形式结构

2.4.2 推理的证明

2.4.3 归结证明法

2.4.4 对证明方法的补充说明

习题

第3章 一阶逻辑

3.1 一阶逻辑基本概念

3.1.1 命题逻辑的局限性

3.1.2 个体词、谓词与量词

3.1.3 一阶逻辑命题符号化

3.1.4 一阶逻辑公式与分类

3.2 一阶逻辑等值演算

3.2.1 一阶逻辑等值式与置换规则

3.2.2 一阶逻辑前束范式

习题

第4章 关系

4.1 关系的定义及其表示

4.1.1 有序对与笛卡儿积

4.1.2 二元关系的定义

4.1.3 二元关系的表示

4.2 关系的运算

4.2.1 关系的基本运算

4.2.2 关系的幂运算

4.3 关系的性质

4.3.1 关系性质的定义和判别

4.3.2 关系的闭包

4.4 等价关系与偏序关系

4.4.1 等价关系

4.4.2 等价类和商集

4.4.3 集合的划分

4.4.4 偏序关系

4.4.5 偏序集与哈斯图

习题

第5章 函数

5.1 函数的定义及其性质

5.1.1 函数的定义

5.1.2 函数的像与完全原像

5.1.3 函数的性质

5.2 函数的复合与反函数

5.2.1 函数的复合

5.2.2 反函数

习题

第6章 图

6.1 图的基本概念

6.1.1 无向图与有向图

6.1.2 顶点的度数与握手定理

6.1.3 简单图、完全图、正则图、圈图、轮图、方体图

6.1.4 子图、补图

6.1.5 图的同构

6.2 图的连通性

6.2.1 通路与回路

6.2.2 无向图的连通性与连通度

6.2.3 有向图的连通性及其分类

6.3 图的矩阵表示

6.3.1 无向图的关联矩阵

6.3.2 有向无环图的关联矩阵

6.3.3 有向图的邻接矩阵

6.3.4 有向图的可达矩阵

6.4 几种特殊的图

6.4.1 二部图

6.4.2 欧拉图

6.4.3 哈密顿图

6.4.4 平面图

习题

第7章 树及其应用

7.1 无向树

7.1.1 无向树的定义及其性质

7.1.2 生成树

7.2 根树及其应用

7.2.1 根树及其分类

7.2.2 最优树与哈夫曼算法

7.2.3 最佳前缀码

7.2.4 根树的周游及其应用

习题

第8章 组合计数基础

8.1 基本计数规则

8.1.1 加法法则

8.1.2 乘法法则

8.1.3 分类处理与分步处理

8.2 排列与组合

8.2.1 集合的排列与组合

8.2.2 多重集的排列与组合

8.3 二项式定理与组合恒等式

8.3.1 二项式定理

8.3.2 组合恒等式

8.3.3 非降路径问题

8.4 多项式定理与多项式系数

8.4.1 多项式定理

8.4.2 多项式系数

习题

第9章 容斥原理

9.1 容斥原理及其应用

9.1.1 容斥原理的基本形式

9.1.2 容斥原理的应用

9.2 对称筛公式及其应用

9.2.1 对称筛公式

9.2.2 棋盘多项式与有限制条件的排列

习题

第10章 递推方程与生成函数

10.1 递推方程及其应用

10.1.1 递推方程的定义及实例

10.1.2 常系数线性齐次递推方程的求解

10.1.3 常系数线性非齐次递推方程的求解

10.1.4 递推方程的其他解法

10.1.5 递推方程与递归算法

10.2 生成函数及其应用

10.2.1 牛顿二项式定理与牛顿二项式系数

10.2.2 生成函数的定义及其性质

10.2.3 生成函数的应用

10.3 指数生成函数及其应用

10.4 Catalan数与Stirling数

习题

第ll章 初等数论

11.1 素数

11.2 最大公约数与最小公倍数

11.3 同余

11.4 一次同余方程与中国剩余定理

11.4.1 一次同余方程

11.4.2 qlt，国剩余定理

11.4.3 大整数算术运算

11.5 欧拉定理和费马小定理

习题

第12章 离散概率

12.1 随机事件与概率、事件的运算

12.1.1 随机事件与概率

12.1.2 事件的运算

12.2 条件概率与独立性

12.2.1 条件概率

12.2.2 独立性

12.2.3 伯努利概型与二项概率公式

12.3 离散型随机变量

12.3.1 离散型随机变量及其分布律

12.3.2 常用分布

12.3.3 数学期望

12.3.4 方差

12.4 概率母函数

习题

第13章 初等数论和离散概率的应用

13.1 密码学

13.1.1 恺撒密码

13.1.2 RSA公钥密码

13.2 产生伪随机数的方法

13.2.1 产生均匀伪随机数的方法

13.2.2 产生离散型伪随机数的方法

13.3 算法的平均复杂度分析

13.3.1 排序算法

13.3.2 散列表的检索和插入

13.4 随机算法

13.4.1 随机快速排序算法

13.4.2 多项式恒零测试

13.4.3 素数测试

13.4.4 蒙特卡罗法和拉斯维加斯法

习题

第14章 代数系统

14.1 二元运算及其性质

14.1.1 二元运算与一元运算的定义

14.1.2 二元运算的性质

14.2 代数系统

14.2.1 代数系统的定义与实例

14.2.2 代数系统的分类

14.2.3 子代数系统与积代数系统

14.2.4 代数系统的同态与同构

14.3 几个典型的代数系统

14.3.1 半群与独异点

14.3.2 群

14.3.3 环与域

14.3.4 格与布尔代数

习题

参考文献

本教材是参照ACM和IEEE最新推出的Computing Curricula，根据教育部高等学校计算机科学与技术教学指导委员会最新编制的“高等学校计算机科学与技术专业规范”中制定的关于离散数学的知识结构和体系撰写的.全书共14章，内容包含证明技巧、数理逻辑、集合与关系、函数、组合计数、图和树、初等数论、离散概率、代数系统等.本书体系严谨，文字精练，内容翔实，例题丰富，注重与计算机科学技术的实际问题相结合，并选配了大量难度适当的习题，适合教学.另外，本书有配套的习题解答与学习指导等教学辅导用书，以及用于课堂教学的PPT演示文稿和在线数字资源等，以满足教学需要.本书适合作为高等学校计算机及相关专业本科生“离散数学”课程的教材，也可以作为对离散数学感兴趣的人员的入门参考书.

《离散数学（第3版在线教学版）/普通高等教育精品教材》特色：
符合教育部高等学校计算机科学与技术教学指导委员会发布的“高等学校计算机科学与技术专业规范”，围绕核心知识点精心选材，教学目标定位清晰。
引入了较多的来自科研和工程实践的典型实例，注重把离散数学严谨的知识体系与计算机科学技术的发展相结合。
凝练了多年的课程建设成果，内容覆盖合理，习题选配恰当，语言通俗易懂，教学资源丰富，适合教学使用。