泛函分析

第1章 线性空间

第2章 线性映射

2.1 线性映射生成的代数

2.2 线性映射的指标

第3章 Hahn－Banach定理

3.1 延拓定理

3.2 Hahn－Banach定理的几何形式

3.3 Hahn－Banach定理的延拓

第4章 Hahn－Banach定理的应用

4.1 正线性泛函的延拓

4.2 Banach极限

4.3 有限可加的不变集函数

第5章 赋范线性空间

5.1 范数

5.2 单位球的非紧性

5.3 等距

第6章 Hilbert空间

6.1 内积

6.2 闭凸集中的最佳逼近点

6.3 线性泛函

6.4 线性张

第7章 Hilbert空间结果的应用

7.1 Radon－Nikodym定理

7.2 Dirichlet问题

第8章 赋范线性空间的对偶

8.1 有界线性泛函

8.2 有界线性泛函的延拓

8.3 自反空间

8.4 集合的支撑函数

第9章 对偶性的应用

9.1 加权幂的完备性

9.2 Muntz逼近定理

9.3 Runge定理

9.4 函数论中的对偶变分问题

9.5 Green函数的存在性

第10章 弱收敛

10.1 弱收敛序列的一致有界性

10.2 弱序列紧性

10.3 弱收敛

第11章 弱收敛的应用

11.1 用连续函数逼近6函数

11.2 傅里叶级数的发散性

11.3 近似求积分

11.4 向量值函数的弱解析性和强解析性

11.5 偏微分方程解的存在性

11.6 具有正实部的解析函数的表示

第12章 弱拓扑和弱拓扑

第13章 局部凸空间拓扑和Krein－Milman定理

13.1 通过线性泛函分离点

13.2 Krein－Milman定理

13.3 Stone－Weierstrass定理

13.4 Choquet定理

第14章 凸集及其极值点的例子

14.1 正线性泛函

14.2 凸函数

14.3 完全单调函数

14.4 Caljatheodorly和Bochner定理

14.5 Krein的一个定理

14.6 正调和函数

14.7 Hamburger矩问题

14.8 G.Birkhoff猜测

14.9 De Finetti定理

14.10 保测映射

第15章 有界线性映射

15.1 有界性和连续性

15.2 强拓扑和弱拓扑

15.3 一致有界原理

15.4 有界线性映射的复合

15.5 开映射原理

第16章 有界线性映射的例子

16.1 积分算子的有界性

16.2 Marcel Riesz凸性定理

16.3 有界积分算子的例子

16.4 双曲方程的解算子

16.5 热传导方程的解算子

16.6 奇异积分算子，拟微分算子和Fourier积分算子

第17章 Banach代数及其基本谱理论

17.1 赋范代数

17.2 函数演算

第18章 交换Banach代数的Gelfand理论

第19章 交换Banach代数的Gelfand理论的应用

19.1 代数C（S）

19.2 Gelfand紧化

19.3 绝对收敛的F0urier级数

19.4 闭单位圆盘上的解析函数

19.5 开单位圆盘内的解析函数

19.6 Wiener的陶伯定理

19.7 交换的B代数

第20章 算子及其谱的例子

20.1 可逆映射

20.2 移位

20.3 Volterlra积分算子

20.4 Fourier变换

第21章 紧映射

21.1 紧映射的基本性质

21.2 紧映射的谱理论

第22章 紧算子的例子

22.1 紧性的判别准则

22.2 积分算子

22.3 椭圆偏微分算子的逆

22.4 由抛物型方程定义的算子

22.5 殆正交基

第23章 正的紧算子

23.1 正的紧算子的谱

23.2 随机积分算子

23.3 二阶椭圆算子的逆

第24章 积分方程的Fredholm理论

24.1 Fredholm行列式和nedholm预解式

24.2 Fredholm行列式的乘法性质

24.3 Gelfand－Levian－Marchenko方程和Dyson的公式

第25章 不变子空间

25.1 紧算子的不变子空间

25.2 不变子空间套

第26章 射线上的调和分析

26.1 调和函数的Phragmen－Lindelof原理

26.2 抽象Phragmen－Lindelof原理

26.3 渐进展开

第27章 指标理论

27.1 Noether指标

27.2 Toeplitz算子

27.3 Hankel算子

第28章 Hilbert空间上的紧对称算子

第29章 紧对称算子的例子

29.1 卷积

29.2 一个微分算子的逆

29.3 偏微分算子的逆

第30章 迹类和迹公式

30.1 极分解与奇异值

30.2 迹类，迹范数，迹

30.3 迹公式

30.4 行列式

30.5 迹类算子的例子和反例

30.6 Poisson和公式

30.7 如何将算子的指标表示成迹的差

30.8 Hilbert-Schmidt类

30.9 Banach空间上的算子的迹和行列式

第31章 对称算子、正规算子和酉算子的谱理论

31.1 对称算子的谱

31.2 对称算子的函数演算

31.3 对称算子的谱分解

31.4 绝对连续谱、奇异谱和点谱

31.5 对称算子的谱表示

31.6 正规算子的谱分解

31.7 酉算子的谱分解

第32章 自伴算子的谱理论

32.1 谱分解

32.2 利用Cayley变换构造谱分解

32.3 自伴算子的函数演算

第33章 自伴算子的例子

33.1 无界对称算子的延拓

33.2 对称算子延拓的例子，亏指数

33.3 Friedrichs延拓

33.4 Rellich扰动定理

33.5 矩问题

第34章 算子半群

34.1 强连续的单参数半群

34.2 半群的构造

34.3 半群的逼近

34.4 半群的扰动

34.5 半群的谱理论

第35章 酉算子群

35.1 Stone定理

35.2 遍历理论

35.3 Koopman群

35.4 波动方程

35.5 平移表示

35.6 Heisenberg交换关系

第36章 强连续算子半群的例子

36.1 由抛物型方程定义的半群

36.2 由椭圆型方程定义的半群

36.3 半群的指数型衰减

36.4 LaX-Phillips半群

36.5 障隘外部的波动方程

第37章 散射理论

37.1 扰动理论

37.2 波算子

37.3 波算子的存在性

37.4 波算子的不变性

37.5 位势散射

37.6 散射算子

37.7 Lax-Phillips散射理论

37.8 散射矩阵的零点

37.9 自守波动方程

第38章 Beurling定理

38.1 Hardy空间

38.2 Beurling定理

38.3 Titchmarsh卷积定理

附录ARiesz－Kakutani表示定理

A.1 正线性泛函

A.2 体积

A.3 函数空间工

A.4 可测集和测度

A.5 Lebesgue测度和积分

附录B 广义函数理论

B.1 定义和例子

B.2 广义函数的运算

B.3 广义函数的局部性质

B.4 在偏微分方程中的应用

B.5 Fourier变换

B.6 Fourier变换的应用

B.7 Fourier级数

附录C Zorn引理

关键词索引

《泛函分析》是在Lax教授多年来为纽约大学柯朗数学研究所二年级研究生授课的讲义基础上整理而成的。书中除了泛函分析的基本内容外，还介绍了一些非常重要的深刻论题，比如自伴算子的谱分解和谱表示、紧算子理论、不变子空间和强连续单参数半群等。《泛函分析》还涉及了对于计算拓扑不变量十分重要的算子的指标、强有力的分析工具Lidskii迹公式、Fredholm行列式及其推广，以及源自于物理的散射理论及其他特殊论题。
《泛函分析》理论内容紧密联系具体应用，包含了大量习题和例题。书中还给出了一些历史注记。这部优美简洁的著作已被很多学校用作教材或主要参考书。