应用数学物理方程

第1章 引论

1.1 序言

1.2 偏微分方程的基本概念与定义

1.3 典型数学模型的建立与定解问题

1.3.1 弦振动方程

1.3.2 热传导方程

1.3.3 拉普拉斯方程

1.3.4 典型方程和定解问题

1.4 两个自变量的线性二阶偏微分方程的

分类和化简

1.5 应用例题

习题

第2章 特征线积分法

2.1 弦振动方程的柯西(Cauchy)问题

2.2 半无界弦的振动

2.3 三维空间波动方程的柯西问题

2.4 二维空间波动方程的柯西问题

2.5 非齐次波动方程的柯西问题

2.6 两个自变量的二阶双曲型方程的

特征线积分法

2.6.1 古尔沙(Goursat)问题

2.6.2 广义柯西问题

2.7 一阶线性双曲型方程组的特征线

积分法

2.7.1 柯西问题

2.7.2 一般的柯西问题

2.8 应用例题

习题

第3章 有界区域上的分离变量法

3.1 分离变量

3.2 用分离变量法解弦振动方程的混合

问题

3.3 分离变量法应用的例题

3.4 非齐次问题

3.4.1 特殊问题

3.4.2 一般问题

3.5 应用例题

3.6 用分离变量法解高维问题的例题

习题

第4章 本征值问题与特殊函数

4.1 斯图姆-刘维尔(Sturm-Liouville)

问题

4.2 本征函数

4.3 常微分方程边值问题和格林函数

4.4 格林函数的构造

4.5 带有参数的非齐次常微分方程边值

问题

4.6 贝塞尔函数

4.7 奇异的斯图姆-刘维尔问题

4.8 勒让德(Legendre)函数

4.9 应用例题

习题

第5章 调和函数、格林函数基本解与

?广义解

5.1 格林公式

5.2 调和函数的基本性质及其应用

5.3 拉普拉斯方程的格林函数

5.4 应用例题

5.5 双曲型和抛物型方程的格林函数

5.5.1 双曲型方程的初边值问题

5.5.2 抛物型方程的初边值问题

5.6 -函数与基本解

5.6.1 拉普拉斯方程的基本解

5.6.2 波动方程柯西问题的

基本解

5.6.3 热传导方程柯西问题的

基本解

5.7 广义函数与广义解

5.8 应用例题

习题

第6章 积分变换法

6.1 傅里叶(Fourier)积分变换

6.2 傅里叶积分变换的基本性质

6.3 傅里叶正弦(sin)和余弦(cos)积分

变换

6.4 多维傅里叶积分变换

6.5 应用例题

6.6 拉普拉斯(Laplace)积分变换

6.7 拉普拉斯积分变换的基本性质

6.8 应用例题

6.9 汉克尔(Hankel)积分变换

习题

第7章 能量积分与极值原理及其

应用

7.1 能量积分及其应用

7.1.1 双曲型方程的初边值问题

7.1.2 抛物型方程的初边值问题

7.1.3 双曲型方程的初值问题

7.2 线性椭圆型方程的极值原理及其

应用

7.3 线性抛物型方程的极值原理及其

应用

7.4 线性抛物型方程初值问题解的估计及

唯一性

习题参考答案

附录

附录1

附录2

附录3

参考文献

本书包括数学物理方程与偏微分方程有关的基本概念；典型数学模型的建立与定解问题；两个自变量的线性二阶偏微分方程的分类与化简；解双曲型方程定解问题的特征线积分法；解有界区域上定解问题的分离变量法；本征值问题与常微分方程边值问题；特殊函数与奇异本征值问题；调和函数的性质及其对拉普拉斯方程等边值问题的应用；格林函数及其对解偏微分方程定解问题的应用；基本解、广义函数与广义解相关理论；解无界区域上偏微分方程等定解问题的积分变换法；能量积分、椭圆型与抛物型方程的极值原理及其对定解问题解的唯一性等的应用。书中包含100余应用例题与含参考答案的270余习题。本书可作为大学理工类本科生专业基础课“数学物理方程”和“偏微分方程”的教材，也可作为非基础数学专业研究生学位课程的教材，还可作为广大科学技术工作者的参考书。