复变函数教程

前言

第1章 复数

1.1 复数域

1.1.1 代数运算

1.1.2 共轭复数

1.1.3 绝对值（模）

1.2 复数的几何表示

1.2.1 复平面

1.2.2 三角表示

1.2.3 二项方程

1.2.4 球面表示

1.3 复平面的拓扑

1.3.1 拓扑概念

1.3.2 连通性

1.3.3 完备性

1.3.4 简单曲线

1.4 复数的指数表示

1.4.1 复数级数

1.4.2 指数表示

1.5 线性变换

1.5.1 线性变换转化条件

1.5.2 分式线性变换

1.5.3 交比

1.5.4 对称性

1.5.5圆族

第2章 复变函数

2.1 连续函数

2.1.1 函数概念

2.1.2 函数极限

2.1.3 连续性

2.2 导数

2.2.1 导数概念

2.2.2 可导必要条件

2.2.3 高阶导数

2.3 微分与全微分

2.3.1 微分

2.3.2 全微分

2.3.3 可导充分条件

2.4 可积函数

2.4.1 积分概念

2.4.2 积分性质

2.5 一致收敛性

2.5.1 函数序列

2.5.2 函数级数

2.6 正合微分

2.6.1 积分与路径无关条件

2.6.2 不定积分

2.7 多值复变函数

2.7.1 辐角函数

2.7.2 对数函数

2.7.3 反三角函数

第3章 全纯函数

3.1 全纯与共形

3.1.1 全纯概念

3.1.2 共形映射

3.2 Cauchy定理

3.2.1 单连通区域情形

3.2.2 多连通区域情形

3.3 Cauchy公式

3.3.1 积分表示

3.3.2 导数公式

3.4 导数公式的应用

3.4.1 全纯与偏导数

3.4.2 Cauchy不等式

3.5Cauchy定理一般形式

3.5.1 单连通性

3.5.2 同调闭链

3.6全纯与闭路径积分

3.6.1 Morera定理

3.6.2 Weierstrass定理

第4章 调和函数

4.1 Laplace方程

4.2 调和与全纯

4.2.1 共轭微分

4.2.2 共轭调和函数

4.3 均值性质

4.4 Poisson公式

第5章 解析函数

5.1 幂级数

5.2 全纯与解析

5.3 解析函数的零点

5.3.1 唯一性定理

5.3.2 零点孤立性

5.4 解析延拓

5.4.1 延拓概念

5.4.2 幂级数延拓法

5.4.3 对称原理

第6章 奇点理论

6.1 Laurent理论

6.1.1 Laurent级数

6.1.2 Laurent展式

6.2 奇点分类及特征

6.2.1 孤立奇点

6.2.2 极点特征

6.2.3 本性奇点

6.2.4 无穷远点

6.3 留数计算

6.3.1 留数定理

6.3.2 极点留数

6.4 求定积分

6.4.1 三角函数有理式积分

6.4.2 有理函数无穷积分

6.4.3 含三角函数无穷积分

第7章 亚纯函数

7.1 辐角原理

7.1.1 亚纯概念

7.1.2 辐角原理

7.1.3 Rouche定理

7.2 极值原理

7.2.1 开映射

7.2.2 极值原理

7.3 Mittag-Leftler定理

7.4 Poisson-Jensen公式

7.4.1 Poisson-Jensen公式

7.4.2 Jensen公式

第8章 整函数

8.1 无穷乘积

8.1.1 收敛与发散

8.1.2 绝对收敛

8.1.3 一致收敛

8.2 整函数因子分解

8.2.1 因子分解问题

8.2.2 因子分解定理

8.3 Γ函数

8.3.1 Gauss公式

8.3.2 典型乘积表示

8.3.3 Γ函数特征

8.4 Riemann ζ函数

8.4.1 Euler乘积

8.4.2 延拓公式

8.4.3 函数方程

第9章 椭圆函数

9.1 模与格

9.1.1 模

9.1.2 格

9.2 周期函数

9.2.1 周期概念

9.2.2 周期平行四边形

9.2.3 四个基本定理

9.3 Weierstrass理论

9.3.1 Weierstrass p函数

9.3.2 Weierstrass σ函数

9.3.3 微分方程

9.4 自守函数

参考文献

符号索引

名词索引

《复变函数教程》一书主要介绍了复变函数的微积分理论，并强调从实分析的某些内容过渡到复分析的过程中可能出现的新现象及遇到的障碍.前7章为复变函数课程的基本内容，包括复数、复变函数(微积分理论)、全纯函数、调和函数、解析函数、奇点理论和亚纯函数等内容.第8章和第9章介绍三个重要的特殊函数： 函数、Riemann函数、Weierstrass 函数。《复变函数教程》一书适合高校数学专业师生及相关专业科研人员阅读参考。