数学物理方程及其反问题研究

前言

第1部分数学物理方程

第1章方程的导出和定解条件

1.1概念

1.1.1有关数学物理方程的一些概念

1.1.2定解条件和定解问题

1.1.3解的适定性

1.1.4数学物理方程研究的内容

1.2三类方程的导出及定解问题的提法

1.2.1热传导方程及其定解问题

1.2.2波动方程及其定解问题

1.2.3位势方程及其定解问题

1.3预备知识

1.3.1有关常微分方程中的一些知识

1.3.2线性方程解的叠加原理

1.3.3二阶线性常微分方程的常数变异法

1.3.4二阶线性齐次常微分方程的幂级数解法

1.4小结

1.4.1基本概念

1.4.2定解问题

1.4.3主要数学家介绍

1.5习题

第2章行波法(达朗贝尔法)

2.1一维波动问题

2.1.1Duhamel原理

2.1.2无界弦的自由振动(一维波动方程的柯西问题)

2.1.3半无界弦的自由振动

2.1.4无界弦的强迫振动

2.2高维波动问题

2.2.1空间齐次波动问题

2.2.2二维波动方程的初值问题(降维法)

2.3小结

2.4习题

第3章分离变量法

3.1引言

3.2直角坐标系下齐次方程齐次边界条件问题

3.2.1一维弦的自由振动问题

3.2.2一维细杆的热传导问题

3.2.3矩形域上拉普拉斯方程的边值问题

3.3直角坐标系下非齐次方程齐次边界条件问题

3.3.1引言

3.3.2问题模型

3.3.3求解方法

3.4直角坐标系下齐次方程非齐次边界条件问题

3.4.1引言

3.4.2求解方法

3.4.3例题解析

3.5极坐标系下的分离变量法

3.5.1引言

3.5.2问题模型

3.5.3求解方法

3.5.4例题解析

3.6球坐标系下拉普拉斯方程的求解问题

3.6.1勒让德方程的引出

3.6.2勒让德方程的求解及勒让德函数的性质

3.6.3勒让德函数及性质的应用例题解析

3.7柱坐标系下拉普拉斯方程的求解问题

3.7.1贝塞尔方程的引出

3.7.2贝塞尔方程的解及贝塞尔函数的性质

3.7.3贝塞尔函数的应用例题解析

3.8小结

3.9习题

第4章积分变换法

4.1引言

4.2傅里叶变换及应用

4.2.1傅里叶变换的定义

4.2.2傅里叶变换的性质

4.2.3使用傅里叶变换时应注意的问题

4.2.4傅里叶变换在定解问题中的应用例题解析

4.3拉普拉斯变换及应用

4.3.1拉普拉斯变换的概念

4.3.2拉普拉斯变换的性质

4.3.3拉普拉斯变换性质的简单应用例题解析

4.3.4拉普拉斯变换在定解问题中的应用例题解析

4.4小结

4.5习题

第5章格林函数法

5.1调和函数及性质

5.1.1格林公式

5.1.2调和函数及其积分表达式

5.1.3调和函数的性质

5.2格林函数及应用

5.2.1格林函数的定义

5.2.2格林函数的求法和边值问题的解

5.3小结

5.4习题

第6章变分法初步

6.1变分问题的引出及最简变分问题的解法

6.1.1变分法的基本引理

6.1.2泛函取极值的必要条件

6.1.3例题验证

6.2变分法的应用例题解析

6.3极小曲面问题研究状况综述

6.3.1极小曲面的概念

6.3.2有关极小曲面问题

6.4小结

6.5习题

部分习题参考答案

参考文献

第2部分数学物理方程反问题研究

有关数学物理方程的反问题

热传导方程反问题的存在性(一)

热传导方程反问题的存在性(二)

一类抛物型方程的反问题

非线性热传导方程的反问题

热传导方程的反问题

一类双曲方程反问题的存在性及唯一性

　　微分方程是人类认识自然、改造自然的一种工具，也是数学理论联系实际的桥梁。同时数学物理方程也是理工科专业学生的一门重要的数学课程。该门课程既涉及物理、力学、热学、光学、电学等背景知识，同时又要用到数学分析、复变函数、积分变换、常微分方程和泛函分析等多门数学工具，许多学生反映学习起来比较困难。为解决这些困难，编者特编写本书，力求简明、通俗易学，注重实用性和应用性，对一些公式或定理的推证没有做过多的阐述。　　本书是作者在大学本科以及研究生教学的讲义基础上整理编写的。书中共包括两部分，第1部分是有关数学物理方程的求解方法介绍，如分离变量法、行波法、积分变换法和格林函数法，并简介了变分法及应用；第2部分是数学物理方程的反问题，包含了作者在该领域研究的一些主要成果，以线性与非线性热传导方程的反问题和一类双曲方程的反问题的研究为主。前6章每章后面配有一定量的习题，在第6章末附有部分习题参考答案。　　本书具有实用、通俗和便于自学等特点，可作为高等院校理工科专业的大学生、研究生教材或教学参考书，还可供研究该领域的相关学者和工程技术人员参考。