复变函数与积分变换

引言1

第一章 复数与复变函数2

第一节 复数的运算及其表示方法2

一 复数的概念2

二 复数的运算2

三 复数的表示方法3

四 复球面与无穷远点4

第二节 复数的幂与方根5

一 复数的乘积与商5

二 复数的幂与方根6

第三节 复平面上的点集7

一 区域的概念7

二 约当(Jordan)曲线8

三 单连通 多连通区域9

第四节 复变函数9

一 复变函数概念9

二 复变函数的几何意义10

第五节 复变函数的极限和连续性11

一 复变函数的极限11

二 复变函数连续12

本章 小结13

习题一14

第二章 解析函数17

第一节 解析函数的概念17

一 复变函数的导数17

二 解析函数的概念19

第二节 函数解析的充要条件20

第三节 初等函数22

一 指数函数22

二 对数函数24

三 幂函数26

四 三角函数27

五 反三角函数30

六 双曲函数和反双曲函数30

本章 小结31

习题二33

第三章 复变函数的积分36

第一节 复变函数积分的概念36

一 积分的定义36

二 复积分的性质37

三 复积分的存在条件与计算

方法38

第二节 柯西积分定理40

一 柯西积分定理40

二 复合闭路定理41

三 不定积分43

第三节 柯西积分公式44

一 柯西积分公式44

二 高阶导数公式46

本章 小结48

习题三49

第四章 级数51

第一节 复级数51

一 序列的极限51

二 复数项级数52

第二节 幂级数53

一 幂级数概念53

二 收敛圆域与收敛半径54

三 收敛半径的求法55

四 幂级数的运算和性质57

第三节 泰勒级数59

第四节 洛朗级数63

本章 小结71

习题四74

第五章 留数76

第一节 孤立奇点76

一 可去奇点76

二 极点77

三 本性奇点77

四 函数的零点与极点的关系78

五 函数在无穷远点的性态80

第二节 留数81

一 留数的概念与留数定理81

二 留数的计算规则83

三 在无穷远点的留数85

第三节 留数在定积分计算上的

应用87

一 形如∫2π0R(cosθ，sinθ)dθ的

积分87

二 形如∫+∞-∞R(x)dx的积分88

三 形如∫+∞-∞R(x)eiaxdx(a＞0)的

积分88

本章 小结91

习题五94

第六章 傅立叶变换96

第一节 Fourier积分96

一 Fourier级数的复指数形式96

二 Fourier积分形式97

第二节 Fourier变换100

一 Fourier变换的概念100

二 单位脉冲函数及其Fourier变换102

三 非周期函数的频谱106

第三节 Fourier变换的性质110

一 线性性质110

二 位移性质110

三 微分性质111

四 积分性质111

五 相似性质112

六 对称性质113

第四节 Fourier变换的卷积113

一 卷积的定义113

二 卷积定理115

本章 小结116

习题六118

第七章 拉普拉斯变换120

第一节 Laplace变换的概念120

一 Laplace变换的定义120

二 Laplace变换的存在定理121

第二节 Laplace变换的性质123

一 线性性质124

二 相似性质124

三 微分性质124

四 积分性质126

五 位移性质127

六 延迟性质128

七 初值定理与终值定理129

第三节 Laplace逆变换131

一 反演积分公式131

二 利用留数计算反演积分131

第四节 Laplace变换的卷积134

一 卷积的概念134

二 卷积定理134

第五节 Laplace变换的应用136

本章 小结142

习题七144

附录一傅立叶变换表147

附录二拉普拉斯变换表151

由张鸿艳主编的《复变函数与积分变换》旨在培养学生的数学素质，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力，尤其强调理论的应用性。本书体系严谨、逻辑性强，内容组织由浅入深。 本书共分7章，包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、傅里叶变换和拉普拉斯变换。此外，每章均配备了比较丰富的习题，以帮助学生加深对概念的理解，提高分析和解决问题的能力。《复变函数与积分变换》是根据教育部高等院校“复变函数与积分变换”课程的基本要求，依据工科数学“复变函数与积分变换”教学大纲，结合本学科的发展趋势，在积累多年教学经验的基础上编写而成的.《复变函数与积分变换》共分7章，包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、傅里叶变换和拉普拉斯变换.此外，每章均配备了比较丰富的习题，以帮助学生加深对概念的理解，提高分析和解决问题的能力. 《复变函数与积分变换》适合普通高等院校工科各专业，尤其是自动化、通信工程、电子信息、测控、机械工程、材料成型等专业作为教材，也可供科技、工程技术人员参考.