复变函数与积分变换

前言

第1章复数与复变函数

1.1复数的概念

1.1.1复数

1.1.2复数的运算

1.2复数的几何表示

1.3复球面与平面区域

1.3.1复球面

1.3.2复平面区域

1.3.3曲线与连通域

1.4复变函数的极限与连续性

1.4.1复变函数的概念

1.4.2复变函数的极限

1.4.3复变函数的连续性

习题一

第2章解析函数

2.1解析函数的概念

2.1.1复变函数的导数与微分

2.1.2解析函数

2.2函数解析的充要条件

2.3初等函数

2.3.1指数函数

2.3.2对数函数

2.3.3幂函数

2.3.4三角函数与双曲函数

2.3.5反三角函数与反双曲函数

习题二

第3章复变函数的积分

3.1复变函数积分的概念

3.1.1复积分的概念

3.1.2复积分的性质

3.1.3复积分的计算

3.2柯西-古萨(Cauchy-Goursat)定理与复合闭路定理

3.2.1柯西-古萨定理

3.2.2复合闭路定理

3.3柯西积分公式与高阶导数公式

3.3.1柯西积分公式

3.3.2高阶导数公式

3.4原函数与不定积分

3.4.1原函数与不定积分

3.4.2牛顿一莱布尼兹公式

3.5解析函数与调和函数的关系

3.5.1调和函数与共轭调和函数

3.5.2共轭调和函数的求法

习题三

第4章级数

4.1复数项级数

4.1.1复数列

4.1.2复数项级数

4.2复变函数项级数与幂级数

4.2.1复变函数项级数

4.2.2幂级数

4.2.3收敛半径的求法

4.2.4幂级数的运算和性质

4.3泰勒级数

4.3.1泰勒定理

4.3.2常用函数的泰勒展开式

4.4洛朗级数

4.4.1洛朗级数的概念及收敛域

4.4.2圆环域内解析函数的洛朗展开

习题四

第5章留数

5.1孤立奇点

5.1.1孤立奇点的分类

5.1.2函数的零点与极点的关系

5.1.3函数在无穷远点的性态

5.2留数

5.2.1留数的定义及留数定理

5.2.2留数的计算

5.2.3在无穷远点的留数

5.3留数在定积分计算上的应用

5.3.1形如∫R(cosθ，sinθ)dθ的积分

5.3.2形如∫R(x)dx的积分

5.4*对数留数与辐角原理

5.4.1对数留数

5.4.2辐角原理

5.4.3路西(Rouche)定理

习题五

第6章*共形映射

6.1共形映射的概念

6.1.1解析函数的导数的几何意义

6.1.2共形映射的概念

6.2分式线性映射

6.2.1分式线性映射的定义

6.2.2分式线性函数的分解

6.2.3分式线性映射的性质

6.3几个初等函数所构成的映射

6.3.1幂函数

6.3.2指数函数

习题六

第7章傅里叶变换

7.1傅氏积分

7.1.1周期函数的傅里叶展开式

7.1.2非周期函数的傅里叶级数展开

7.1.3傅氏积分定理及傅氏积分公式的三角形式

7.2傅氏变换

7.2.1傅氏变换的概念

7.2.2单位脉冲函数及其傅氏变换

7.3傅氏变换的性质

7.3.1傅氏变换的基本性质

7.3.2卷积

7.4傅氏变换的应用

7.4.1频谱

7.4.2傅氏变换在求解方程中的应用

习题七

第8章拉普拉斯变换

8.1拉氏变换的概念

8.1.1问题的提出

8.1.2拉氏变换的存在定理

8.1.3广义拉氏变换

8.2拉氏变换的性质

8.2.1拉氏变换的基本性质

8.2.2卷积

8.3拉氏逆变换

8.3.1引言

8.3.2反演定理和赫维赛德(Heaviside)展开式

8.4拉氏变换的应用

习题八

附录

附录Ⅰ部分习题答案

附录Ⅱ傅氏变换简表

附录Ⅲ拉氏变换简表

参考文献

　　本书共分八章，主要介绍了复数与复变函数、复变函数的积分、级数、留数、共形映射、傅里叶变换、拉普拉斯变换等内容。　　本书内容丰富、论述严谨，文字阐述深入浅出、通俗易懂、言简意赅。还配备大量的典型例题及习题，并与书末附有答案。通过对大量例题的剖析，帮助理解抽象的概念，掌握方法，熟悉技巧，注重各种方法的具体运用。　　本书是根据国家教育部最新制定的高等学校《工科数学课程教学基本要求》，在历年主讲该课程时使用的自编讲义的基础上编写而成的。本书内容包括：复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、共形映射、傅里叶变换和拉普拉斯变换。本书系统地介绍了复变函数与积分变换的基本理论、方法与应用。　　本书可供高等工科院校的师生作为教材使用，也可作为从事实际工作的工程技术人员的参考读物。