实变函数论与泛函分析

引言

第一章 集合

1 集合及其运算

1.1 集合的定义及其运算

1.2 集合序列的上、下限集

*1.3 域与Q－域

2 集合的势

2.1 势的定义与Bernstein定理

2.2 可数集合

*2.3 连续势

*2.4 p进位表数法

3 n维空间中的点集

3.1 聚点、内点、边界点与Bolzano-Weierstrass定理

3.2 开集、闭集与完全集

3.3 直线上的点集

习题一

第二章 测度论

1 外测度与可测集

1.1 外测度

1.2 可测集及其性质

*2 Lebesgue可测集的结构

2.1 开集的可测性

2.2 Lebesgue可测集的结构

习题二

第三章 可测函数

1 可测函数的定义及其性质

1.1 可测函数的定义

1.2 可测函数的性质

2 可测函数的逼近定理

2.1 Egorov定理

2.2 Lusin定理

2.3 依测度收敛性

习题三

第四章 Lebesgue积分

1 可测函数的积分

1.1 有界可测函数积分的定义及其性质

1.2 Lebesgue积分的性质

1.3 一般可测函数的积分

1.4 Riemann积分与Lebesgue积分的关系

2 Lebesgue积分的极限定理

2.1 非负可测函数积分的极限

2.2 控制收敛定理

*3 Fubini定理

3.1 乘积空间上的测度

3.2 Fubini定理

4 有界变差函数与微分

*4.1 单调函数的连续性与可导性

4.2 有界变差函数与绝对连续函数

5 Lp空间简介

5.1 Lp空间的定义

5.2 LP(E)中的收敛概念

习题四

*第五章 抽象测度与积分

1 集合环上的测度及扩张

1.1 环上的测度

1.2 测度的扩张

1.3 扩张的唯一性

1.4 Lebesgue-Stieltjes测度

2 可测函数与Radon-Nikodym定理

2.1 可测函数的定义

2.2 Radon-Nikodym定理

3 Fubini定理

……

参考文献

索引

《普通高等教育“十一五”国家级规划教材：实变函数论与泛函分析（第3版）（上册）》分上、下册。上册系统介绍了实变函数的基础知识，共分五章：集合、测度论、可测函数、Lehesgue积分以及抽象测度与积分。其中，前四章为必学内容，授完约需60学时，第五章属选学内容，可用12～16学时讲完。
《普通高等教育“十一五”国家级规划教材：实变函数论与泛函分析（第3版）（上册）》文字流畅，论证严密，对概念、定理的背景与意义交代得十分清楚，介绍了新旧知识之间、实变函数与其他数学分支之间的内在联系。本书特别注重培养学生如何提出问题，以及如何从分析问题的过程中寻求解决方法的能力。
本书可供综合性大学与师范院校数学各专业本科生作为教材或教学参考书，也可作为工科部分专业高年级本科生与研究生的教材或教学参考书。同时，本书对于有一定数学基础的读者而言，也是一部很好的自学参考书。