高观点下的初等数学

第一卷目录

博洽内容独特风格

《高观点下的初等数学》导读吴大任

纪念克莱因

介绍《高观点下的初等数学》齐民友

第一版序

第三版序

英文版序

前言

第一部分算术

第一章自然数的运算

§1.1学校里数的概念的引入

§1.2运算的基本定律

§1.3整数运算的逻辑基础

第二章数的概念的第一个扩张

§2.1负数

§2.2分数

§2.3无理数

第三章关于整数的特殊性质

第四章复数

§4.1通常的复数

§4.2高阶复数，特别是四元数

§4.3四元数的乘法旋转和伸展

§4.4中学复数教学

附：关于数学的现代发展及一般结构

第二部分代数

第五章含实未知数的实方程

§5.1含一个参数的方程

§5.2含两个参数的方程

§5.3含3个参数λ，μ，ν的方程

第六章复数域方程

§6.1代数的基本定理

§6.2含一个复参数的方程

第三部分分析

第七章对数函数与指数函数

§7.1代数分析的系统讨论

§7.2理论的历史发展

§7.3中学里的对数理论

§7.4函数论的观点

第八章角函数

§8.1角函数理论

§8.2三角函数表

§8.3角函数的应用

第九章关于无穷小演算本身

§9.1无穷小演算中的一般考虑

§9.2泰勒定理

§9.3历史的与教育学上的考虑

附录

Ⅰ.数e和π的超越性

Ⅱ.集合论

第二卷目录

第一版序

第三版序

英文版序

前言

第四部分最简单的几何流形

第十章作为相对量的线段、面积与体积

第十一章平面上的格拉斯曼行列式原理

第十二章格拉斯曼空间原理

第十三章直角坐标变换下空间基本图形的分类

第十四章导出的流形

第五部分几何变换

第十五章仿射变换

第十六章投影变换

第十七章高阶点变换

§17.1反演变换

§17.2某些较一般的映射投影

§17.3最一般的可逆单值连续点变换

第十八章空间元素改变而造成的变换

§18.1对偶变换

§18.2相切变换

§18.3某些例子

第十九章虚数理论

第六部分几何及其基础的系统讨论

第二十章系统的讨论

§20.1几何结构概述

§20.2关于线性代换的不变量理论

§20.3不变量理论在几何学上的应用

§20.4凯莱原理和仿射几何及度量几何的系统化

第二十一章几何学基础

§21.1侧重运动的平面几何体系

§21.2度量几何的另一种发展体系平行公理的作用

§21.3欧几里得的《几何原本》

第三卷目录

译者的话

第一版序

第三版序

前言

第七部分实变函数及其在直角坐标下的表示法

第二十二章关于单个自变数x的阐释

§22.1经验准确度与抽象准确度，现代实数概念

§22.2精确数学与近似数学，纯粹几何中亦有此分野

§22.3直观与思维，从几何的不同方面说明

§22.4用关于点集的两个定理来阐明

第二十三章单变数x的函数y＝f(x)

§23.1函数的抽象确定和经验确定(函数带概念)

§23.2关于空间直观的引导作用

§23.3自然规律的准确度(附关于物质构成的不同观点)

§23.4经验曲线的属性：连通性、方向、曲率

§23.5关于连续函数的柯西定义和经验曲线类似到什么程度？

§23.6连续函数的可积性

§23.7关于最大值和最小值的存在定理

§23.84个广义导数

§23.9魏尔斯特拉斯不可微函数；它的形象概述

§23.10魏尔斯特拉斯函数的不可微性

§23.11“合理”函数

第二十四章函数的近似表示

§24.1用合理函数近似表示经验曲线

§24.2用简单解析式近似表示合理函数

§24.3拉格朗日插值公式

§24.4泰勒定理和泰勒级数

§24.5用拉格朗日多项式近似表示积分和导函数

§24.6关于解析函数及其在阐释自然中的作用

§24.7用有尽三角级数插值法

第二十五章进一步阐述函数的三角函数表示

§25.1经验函数表示中的误差估计

§25.2通过最小二乘法所得的三角级数插值

§25.3调和分析仪

§25.4三角级数举例

§25.5切比雪夫关于插值法的工作

第二十六章二元函数

§26.1连续性

§26.2偏导次序的颠倒实例

§26.3用球函数级数近似表示球面上的函数

§26.4球函数在球面上的值分布

§26.5用有尽球函数级数作近似表示的误差估计

第八部分平面曲线的自由几何

第二十七章从精确理论观点讨论平面几何

§27.1关于点集的若干定理

§27.2通过对两个或多个不相交圆的反演所产生的点集

§27.3极限点集的性质

§27.4二维连续统概念、一般曲线概念

§27.5覆盖整个正方形的皮亚诺曲线

§27.6较狭义的曲线概念：若当曲线

§27.7更狭义的曲线概念：正则曲线

§27.8用正则理想曲线近似表示直观曲线

§27.9理想曲线的可感知性

§27.10特殊理想曲线：解析曲线与代数曲线，代数曲线的格拉斯曼几何产生法

§27.11用理想图形表现经验图形；佩雷观点

第二十八章继续从精确理论观点讨论平面几何

§28.1对两个相切圆的相继反演

§28.2对3个循环相切圆的相继反演(“模图形”)

§28.34个循环相切圆的标准款

§28.44个循环相切圆的一般款

§28.5所得非解析曲线的性质

§28.6这整个论述的前提，韦龙尼斯的进一步理想化

第二十九章转入应用几何：A.测量学

§29.1一切实际度量的不准确性，斯涅尼奥斯课题的实践

§29.2通过多余的度量来确定准确度，最小二乘法的原则阐述

§29.3近似计算，用关于球面小三角形的勒让德定理来说明

§29.4地球参考椭面上最短线在测量学中的意义(附关于微分方程论的假设)

§29.5关于水准面及其实际测定

第三十章续论应用几何：B.作图几何

§30.1关于作图几何中一种误差理论的假设，用帕斯卡定理的作图说明

§30.2由经验图形推导理想曲线性质的可能性

§30.3对代数曲线的应用，将要用到的关于代数的知识

§30.4提出所要证明的定理：w′＋2t″＝n(n－2)

§30.5证明中将采用的连续性方法

§30.6有与无二重点的Cn之间的转化

§30.7符合定理的偶次曲线举例

§30.8奇次曲线的例子

§30.9举例说明证明中的连续性方法，证明的完成

第九部分用作图和模型表现理想图形

§1无奇点挠曲线，特殊地，C3的形状(曲线的投影及其切线曲面的平面截线)

§2挠曲线的7种奇点

§3关于无奇点曲面形状的一般讨论

§4关于F3的二重点，特别是它的二切面重点和单切面重点

§5F3的形状概述

呼吁：通过观察自然，不断修订传统科学结论

人名译名对照

译后记

前言

我向数学界，特别是向中学数学教师奉献的这一卷新书，应该看做是“中学数学教学讲义”，尤其要当作为去年由杜伯纳(Teubner)出版社出版的、席马克与我合著的《数学教学组织》一书的续篇。那时我们所关心的是向数学家介绍种种不同的教学方法，而目前我所关心的是数学教学内容的种种进展。我的努力方向是充分结合当今的数学教学方法，从现代数学科学观点出发，向数学教师以及已成熟的学生介绍数学教学的内容及基础，但要尽可能做到简洁、有启发性，也有说服力。我不准备仿照韦伯(Weber)和韦尔斯坦因(Wellstein)两人那种有系统的讲法，只是想像实际讲课中那样，随机应变、自由发挥。

这样的写作大纲，在我和席马克去年4月出版的那本书的序言中已有提及，目前仅仅贯彻于本卷算术、代数、分析这3个部分中。我曾希望，尽管有许多困难，席马克先生会挤出时间把我的讲义整理好再付印。不过怪我不好，不断要求他把时间用在我们两人都感兴趣的其他教学法问题上。很快就发现，当初的计划不能完成，特别是不能在短期内完成。可是要想对刚刚浮现的那些教学问题发挥真正的影响，非要在短期内完成不可。于是像前几年那样，只得求助于一种比较简便的方法，将我的讲义付之石印，尤其是因为我现在的助手欧内斯特.海林格(Hellinger)博士特别胜任这个工作。我们不应当低估海林格博士付出的劳动。把一个教师在偶然条件影响下讲的话整理成通顺的记录，这不是一件轻而易举的事。通常要印刷出版就要做到叙述精确、解释一致，可是讲课的人往往做不到这一步。

对于是否继续出版有关数学教学的著作，至少是在几何方面，我很犹豫。我仅希望这一卷石印的书能促使高中数学教师再度运用独立思考，确定讲授教学材料的最好方法。这本书的目的只不过是起到智力启发作用，而不能当作一本详尽的手册。至于手册之类，应该让积极从事中学教学的老师来写。某些人可能误会，以为我的书还有别的什么目的，这样想就错了。特别应说明，德国自然科学家及医师协会教学委员会拟的课程大纲不是我写的，只是在我的协作下由一批优秀的中学数学教师写成的。

最后，关于本书的叙述方法，我只想说明一下，像以往一样，我在这里做出的努力，就是把几何直觉与算术公式的精确性结合起来，而我感到特别高兴的是能遵循各种理论的历史发展，理解今天教学上互相平行的几种教授方法的显著差别。

克莱因(F.Klein)

1908年6月于哥廷根

　　数学教育的不朽经典，数学大师的呕心之作。本书是克莱因根据自己在哥廷根大学多年为德国中学数学教师及在校学生开设的讲座所撰写的基础数学普及读物。该书反映了他对数学的许多观点，向人们生动地展示了一流大师的遗风，出版后被译成多种文字，是一部数学教育的不朽杰作，影响至今不衰。全书共分3卷。第一卷：算术，代数、分析；第二卷：几何；第三卷：精确数学与近似数学。本书对我国从事数学学习和数学教育的广大读者具有较好的启示作用。　　菲利克斯.克莱因是19世纪末20世纪初世界最有影响力的数学学派哥廷根学派的创始人，他不仅是伟大的数学家，也是现代国际数学教育的奠基人、杰出的数学史家和数学教育家，在数学界享有崇高的声誉和巨大的影响。　　本书是克莱因根据自己在哥廷根大学多年为德国中学数学教师及在校学生开设的讲座所撰写的基础数学普及读物。该书反映了他对数学的许多观点，向人们生动地展示了一流大师的遗风，出版后被译成多种文字，是一部数学教育的不朽杰作，影响至今不衰。全书共分3卷。第一卷：算术，代数、分析；第二卷：几何；第三卷：精确数学与近似数学。　　克莱因认为函数为数学的”灵魂”。应该成为中学数学的“基石”，应该把算术、代数和几何方面的内容，通过几何的形式用以函数为中心的观念综合起来；强调要用近代数学的观点来改造传统的中学数学内容，主张加强函数和微积分的教学，改革和充实代数的内容，倡导”高观点下的初等数学”意识。在克莱因看来，一个数学教师的职责是：”应使学生了解数学并不是孤立的各门学问，而是一个有机的整体”；基础数学的教师应该站在更高的视角(高等数学)来审视。理解初等数学问题，只有观点高了，事物才能显得明了而简单；一个称职的教师应当掌握或了解数学的各种概念、方法及其发展与完善的过程以及数学教育演化的经过。他认为”有关的每一个分支，原则上应看做是数学整体的代表”，“有许多初等数学的现象只有在非初等的理论结构内才能深刻地理解”。　　本书对我国从事数学学习和数学教育的广大读者具有较好的启示作用，用本书译者之一，我国数学家、数学教育家吴大任先生的话来说，”所有对数学有一定了解的人都可以从中获得教益和启发”，此书”至今读来仍然感到十分亲切。这是因为，其内容主要是基础数学，其观点蕴含着真理……”。【作者简介】　　菲利克斯.克莱因是19世纪末20世纪初世界最有影响力的数学学派哥廷根学派的创始人，他不仅是伟大的数学家，也是现代国际数学教育的奠基人、杰出的数学史家和数学教育家，在数学界享有崇高的声誉和巨大的影响。