实变函数与泛函分析基础

第一篇 实变函数

第一章 集合

1 集合的表示

2 集合的运算

3 对等与基数

4 可数集合

5 不可数集合

第一章习题

第二章 点集

1 度量空间，n维欧氏空间

2 聚点，内点，界点

3 开集，闭集，完备集

4 直线上的开集、闭集及完备集的构造

5 康托尔三分集

第二章习题

第三章 测度论

1 外测度

2 可测集

3 可测集类

4 不可测集

第三章习题

第四章 可测函数

1 可测函数及其性质

2 叶果洛夫（EropoB）定理

3 可测函数的构造

4 依测度收敛

第四章习题

第五章 积分论

1 黎曼积分的局限性，勒贝格积分简介

2 非负简单函数的勒贝格积分

3 非负可测函数的勒贝格积分

4 一般可测函数的勒贝格积分

5 黎曼积分和勒贝格积分

6 勒贝格积分的几何意义·富比尼（Fubini）定理

第五章习题

第六章 微分与不定积分

1 维它利（vitali）定理

2 单调函数的可微性

3 有界变差函数

4 不定积分

5 勒贝格积分的分部积分和变量替换

6 斯蒂尔切斯（stieltjes）积分

7 L-S测度与积分

第六章习题

第二篇 泛函分析

第七章 度量空间和赋范线性空间

1 度量空间的进一步例子

2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间

3 连续映射

4 柯西（Cauchy）点列和完备度量空间

5 度量空间的完备化

6 压缩映射原理及其应用

7 线性空间

8 赋范线性空间和巴拿赫（Banach）空间

第七章习题

第八章 有界线性算子和连续线性泛函

1 有界线性算子和连续线性泛函

2 有界线性算子空间和共轭空间

3 广义函数

第八章习题

第九章 内积空间和希尔伯特（Hilbert）空间

1 内积空间的基本概念

2 投影定理

3 希尔伯特空间中的规范正交系

4 希尔伯特空间上的连续线性泛函

5 自伴算子、酉算子和正常算子

第九章习题

第十章 巴拿赫空间中的基本定理

1 泛函延拓定理

2 C的共轭空间

3 共轭算子

4 纲定理和一致有界性定理

5 强收敛、弱收敛和一致收敛

6 逆算子定理

7 闭图像定理

第十章习题

第十一章 线性算子的谱

1 谱的概念

2 有界线性算子谱的基本性质

3 紧集和全连续算子

4 自伴全连续算子的谱论

5 具对称核的积分方程

第十一章习题

附录一 内测度，L测度的另一定义

附录二 半序集和佐恩引理

附录三 实变函数增补例题

参考书目

《实变函数与泛函分析基础（第3版）》是在第二版的基础上进行的，作者根据多年来的使用情况以及数学的近代发展，做了部分但是重要的修改。全书共11章：实变函数部分包括集合、点集、测度论、可测函数、积分论、微分与不定积分；泛函分析则主要涉及赋范空间、有界线性算子、泛函、内积空间、泛函延拓、一致有界性以及线性算子的谱分析理论等内容。
　　《实变函数与泛函分析基础（第3版）》继续保持简明易学的风格，力图摆脱纯形式推演的论述方式，着重介绍实变函数与泛函分析的基本思想方法，尽量将枯燥的数学学术形态呈现为学生易于接受的教育形态；同时，补充了一些现代化的内容，如“分形”的介绍。
　　《实变函数与泛函分析基础（第3版）》可作为高等院校数学类专业学生的教学用书，也可作为自学参考书。