复变函数

第1章　复数与复变函数 1

1.1 复数及其代数运算 1

1.1.1 复数的概念 1

1.1.2 复数的四则运算 1

1.2 复数的几何表示 3

1.2.1 用平面上的点和向量表示复数 3

1.2.2 模和辐角 4

1.3 复数的乘方与开方 7

1.3.1 乘积与商 7

1.3.2 乘幂与方根 9

1.3.3 复平面上的曲线 12

1.4 复球面与平面区域 14

1.4.1 复球面 14

1.4.2 区域 15

1.5 复变函数 17

1.5.1 复变函数的概念 17

1.5.2 复变函数的极限 19

1.5.3 复变函数的连续性 20

习题1 22

第2章　解析函数 26

2.1 解析函数的概念 26

2.1.1 复变函数的导数 26

2.1.2 复变函数微分的概念 28

2.1.3 解析函数的概念 29

2.2 函数解析的充要条件 30

2.3 初等函数 34

2.3.1 指数函数 34

2.3.2 对数函数 35

2.3.3 幂函数 36

2.3.4 三角函数 38

2.3.5 反三角函数 39

2.3.6 双曲函数和反双曲函数 40

习题2 41

第3章　复变函数积分 43

3.1 复变函数积分的概念 43

3.1.1 复变函数积分的定义 43

3.1.2 复变函数积分的性质 44

3.1.3 复变函数积分存在的条件与基本计算方法 44

3.2 柯西-古尔萨定理与复合闭路定理 47

3.2.1 柯西-古尔萨定理 47

3.2.2 复合闭路定理 49

3.3 原函数与不定积分 51

3.4 柯西积分公式与高阶导数公式 54

3.4.1 柯西积分公式 54

3.4.2 高阶导数公式 56

3.5 解析函数与调和函数的关系 60

3.5.1 调和函数与共轭调和函数 60

3.5.2 共轭调和函数的求法 61

习题3 63

第4章　级数 66

4.1 复数项级数 66

4.1.1 复数列的极限 66

4.1.2 级数的概念 67

4.2 幂级数 70

4.2.1 复变函数项级数 70

4.2.2 幂级数的概念 71

4.2.3 收敛圆与收敛半径 72

4.2.4 幂级数的运算性质和分析性质 75

4.3 泰勒级数 76

4.4 洛朗级数 81

习题4 88

第5章　留数 91

5.1 孤立奇点 91

5.1.1 孤立奇点的类型 91

5.1.2 函数在无穷远点的性态 96

5.2 留数 99

5.2.1 留数的定义及留数定理 99

5.2.2 函数在极点的留数计算准则 101

5.2.3 函数在无穷远点的留数 104

5.3 留数在定积分计算上的应用 107

5.3.1 形如的积分 107

5.3.2 形如的积分 109

5.3.3 形如的积分 111

5.3.4 积分路径上有奇点的积分 113

*5.4　对数留数与辐角原理 115

5.4.1 对数留数 115

5.4.2 辐角原理 117

习题5 119

第6章　共形映射 122

6.1 共形映射的概念 122

6.1.1 曲线的切向量 122

6.1.2 解析函数的导数的几何意义 123

6.1.3 共形映射的概念 125

6.2 分式线性映射 126

6.2.1 分式映射的概念 126

6.2.2 分式映射的三种特殊形式 126

6.2.3 分式映射的性质 128

6.2.4 唯一决定分式映射的条件 131

6.2.5 两个典型区域间的映射 132

6.3 几个初等函数所构成的映射 135

6.3.1 幂函数 135

6.3.2 指数函数 137

习题6 139

第7章　MATLAB在复变函数中的应用 141

7.1 复数的运算 141

7.1.1 复数的实部、虚部、共轭复数和辐角 141

7.1.2 复数的运算 142

7.2 复变函数的图形 143

7.2.1 三角函数的图形 143

7.2.2 其他函数的图形 144

7.3 复变函数的微积分 148

7.3.1 复变函数的极限 148

7.3.2 复变函数求导 149

7.3.3 复变函数求积分 150

7.3.4 复变函数方程求解 151

7.4 留数的计算与泰勒级数展开 151

7.4.1 留数的计算 151

7.4.2 泰勒级数展开 153

参考答案 154

参考文献 163

本教材介绍复变函数的基本概念、基本理论和方法，并结合计算机，使学生能利用数学软件解决一些简单的与复变函数有关的计算问题. 内容包括复变函数、解析函数、复积分、复级数、留数、共形映射和MATLAB在复变函数中的应用等. 每章均有习题，供学生练习之用.本教材可作为工科类各专业本科学生的教材和相关教师的教学参考书.

本教材为高等农林院校大学数学系列教材之一，是为普通高等院校非数学专业“高等数学”课程编写的教材。教材在保持结构严谨、内容通俗易懂的同时，注重基础、加强应用，尽量减少繁琐而又难以起到启发思维作用的逻辑证明。在编写的过程中，特别加强了对学生的基本运算、分析问题及解决问题能力的培养。