代数学引论

《俄罗斯数学教材选译》序

前言

给读者的建议

第1章　代数的起源

§1　简谈代数

§2　几个典型问题

1.方程的根式解问题

2.多原子分子的状态问题

3.通信编码问题

4.平板受热问题

§3　线性方程组初步

1.名词

2.线性方程组的等价

3.化为阶梯型

4.对阶梯形线性方程组的研究

5.评注和例子

§4　低阶行列式

习题

§5　集合与映射

1.集合

2.映射

习题

§6　等价关系．商映射

1.二元关系

2.等价关系

3.商映射

4.序集

习题

§7　数学归纳法原理

习题

§8　置换

1.置换的标准记法

2.置换的循环结构

3.置换的符号

4.Sn在函数上的作用

习题

§9　整数的算术

1.算术基本定理

2.Z中的最大公因数和最小公倍数

3.Z中的带余除法

习题

第2章　矩阵

§1　行和列的向址空间

1.问题的提出

2.基本定义

3.线性组合．线性包

4.线性相关性

5.基．维数

习题

§2　矩阵的秩

1.方程组的回顾

2.矩阵的秩

3.可解性准则

习题

§3　线性映射，矩阵的运算

1.矩阵和映射

2.矩阵的乘积

3.矩阵的转置

4.矩阵乘积的秩

5.方阵

6.矩阵的等价类

7.逆矩阵的计算

8.解空间

习题

第3章　行列式

§1　行列式：构造和基本性质

1.几何背景

2.组合-解析方法

3.行列式的基本性质

习题

§2　行列式的进一步性质

1.行列式按一行成一列的元素展开

2.特殊矩阵的行列式

习题

§3　行列式的应用

1.非退化矩阵的判别准则

2.克拉默公式

3.加边子式法

习题

§4　行列式的公理化构造

1.第一公理化构造

2.第二公理化构造

3.完全归解构造法

4.通过乘法性质的刻画

习题

第4章　群.环.域

§1　具有代数运算的集合

1.二元运算

2.半群和幺半群

3.广义结合律：方幂

4.可逆元素

习题

§2　群

1.定义和例子

2.循环群

3.同构

4.同态

5.术语，例子

习题

§3　环和域

1.环的定义和一般性质

2.同余式，剩余类环

3.环的同态

4.环的类型，域

5.域的特征

6.关于线性方程组的注记

习题

第5章　复数和多项式

§1　复数域

1.辅助结构

2.复平面

3.复数运算的几何解释

4.乘方和开方

5.唯一性定理

6.复数的初等几何

习题

§2　多项式环

1.单变元多项式

2.多变元多项式

3.带余除法

习题

§3　多项式环中的因式分解

1.整除的初等性质

2.环中的最大公因(g.o.d.)和最小公倍(l.c.m.)

3.欧几里得环的唯一因子分解性

4.既约多项式

习题

§4　分式域

1.整环的分式域的构造

2.有理函数域

3.最简分式

习题

第6章　多项式的根

§1　根的一般性质

1.根和线性因子

2.多项式函致

3.多项式环的微分法

4.重因式

5.韦达公式

习题

§2　对称多项式

1.对称多项式环

2.对称多项式基本定理

3.待定系数法

4.多项式的判别式

5.结式

习题

§3　域C的代数封闭性

1.基本定理的叙述

2.基本定理的证明

3.基本定理的又一个证明

§4　实系数多项式

1.R[X]中的因式分解

2.C上和A上的最简分式

3.多项式的隔根问题

4.只有实很的实多项式

5.稳定多项式

6.多项

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本书是俄罗斯著名代数学家柯斯特利金的优秀教材《代数学引论》的第一卷。《代数学引论》是作者总结了莫斯科大学几十年来代数课程的教学经验而写成的，全书分成三卷（第一卷：基础代数，第二卷：线性代数。第三卷：基本结构），分别对应于莫斯科大学数学力学系代数教学的三学期的内容。作者在书中把代数、线性代数和几何统一处理成一个教程，并力图把本书写成有利于培养学生创造性思维的教材。书中配置了难度不同的大量习题。并向学生介绍一些专题中尚未解决的问题。第一卷的内容包括线性方程组，矩阵论初步。行列式理论，群、环、域的简单性质，复数及多项式的根。
本书可供我国高等院校数学、应用数学专业和相关专业的学生、教师用作代数学课程的教学参考书