数学物理方法与仿真

第一篇 复变函数论

第1章 复数与复变函数

1.1 复数概念及其运算

1.1.1 复数概念

1.1.2 复数的基本代数运算

1.2 复数的表示

1.2.1 复数的几何表示

1.2.2 复数的三角表示

1.2.3 复数的指数表示

1.2.4 共轭复数

1.2.5 复球面、无穷远点

1.3 复数的乘幂与方根

1.3.1 复数的乘幂

1.3.2 复数的方根

1.3.3 实践编程：正17边形的几何作图法

1.4 区域

1.4.1 基本概念

1.4.2 区域的判断方法及实例分析

1.5 复变函数

1.5.1 复变函数概念

1.5.2 复变函数的几何意义---映射

1.6 复变函数的极限

1.6.1 复变函数极限概念

1.6.2 复变函数极限的基本定理

1.7 复变函数的连续

1.7.1 复变函数连续的概念

1.7.2 复变函数连续的基本定理

1.8 典型综合实例

小结

习题

计算机仿真编程实践

第2章 解析函数

2.1 复变函数导数与微分

2.1.1 复变函数的导数

2.1.2 复变函数的微分概念

2.1.3 可导的必要条件

2.1.4 可导的充分必要条件

2.1.5 求导法则

2.1.6 复变函数导数的几何意义

2.2 解析函数

2.2.1 解析函数的概念

2.2.2 解析函数的法则

2.2.3 函数解析的充分必要条件

2.2.4 解析函数的几何意义（映射的保角性）

2.3 初等解析函数

2.3.1 指数函数（单值函数）

2.3.2 对数函数---指数函数的反函数（多值函数）

2.3.3 三角函数（单值函数）

2.3.4 反三角函数（多值函数）

2.3.5 双曲函数（单值函数）

2.3.6 反双曲函数（多值函数）

2.3.7 整幂函数ｚｎ（单值函数）

2.3.8 一般幂函数与根式函数ｗ＝ｎ槡ｚ（多值函数）

2.3.9 多值函数的基本概念

2.4 解析函数与调和函数的关系

2.4.1 调和函数与共轭调和函数的概念

2.4.2 解析函数与调和函数之间的关系

2.4.3 解析函数的构建方法

2.5 解析函数的物理意义---平面矢量场

2.5.1 用解析函数表述平面矢量场

2.5.2 静电场的复势

2.6 典型综合实例

小结

习题

计算机仿真编程实践

第3章 复变函数的积分

3.1 复变函数的积分

3.1.1 复变函数积分的概念

3.1.2 复积分存在的条件及计算方法

3.1.3 复积分的基本性质

3.1.4 复积分的计算典型实例

3.1.5 复变函数环路积分的物理意义

3.2 柯西积分定理及其应用

3.2.1 柯西积分定理

3.2.2 不定积分

3.2.3 典型应用实例

3.2.4 柯西积分定理（柯西古萨定理）的物理意义

3.3 基本定理的推广---复合闭路定理

3.4 柯西积分公式

3.4.1 有界区域的单连通柯西积分公式

3.4.2 有界区域的复连通柯西积分公式

3.4.3 无界区域的柯西积分公式

3.5 柯西积分公式的几个重要推论

3.5.1 解析函数的无限次可微性（高阶导数公式）

3.5.2 解析函数的平均值公式

3.5.3 柯西不等式

3.5.4 刘维尔定理

3.5.5 莫勒纳定理

3.5.6 最大模原理

3.5.7 代数基本定理

3.6 典型综合实例

小结

习题

计算机仿真编程实践

第4章 解析函数的幂级数表示

4.1 复数项级数的基本概念

4.1.1 复数项级数概念

4.1.2 复数项级数的判断准则和定理

4.2 复变函数项级数

4.3 幂级数

4.3.1 幂级数概念

4.3.2 收敛圆与收敛半径

4.3.3 收敛半径的求法

4.4 解析函数的泰勒级数展开式

4.4.1 泰勒级数

4.4.2 将函数展开成泰勒级数的方法

4.5 罗朗级数及展开方法

4.5.1 罗朗级数

4.5.2 罗朗级数展开方法实例

4.5.3 用级数展开法计算闭合环路

积分

4.6 典型综合实例

小结

习题

计算机仿真编程实践

第5章 留数定理

5.1 解析函数的孤立奇点

5.1.1 孤立奇点概念

5.1.2 孤立奇点的分类及其判断定理

5.2 解析函数在无穷远点的性质

5.3 留数概念

5.4 留数定理与留数和定理

5.5 留数的计算方法

5.5.1 有限远点留数的计算方法

5.5.2 无穷远点的留数计算方法

5.6 用留数定理计算实积分

5.6.1 ∫2π0 Ｒ（ｃｏｓθ，ｓｉｎθ）ｄθ型积分

5.6.2 ∫＋∞－∞Ｐ（ｘ） Ｑ（ｘ）ｄｘ型积分

5.6.3 ∫＋∞－∞ ｆ（ｘ）ｅｉａｘｄｘ（ａ＞0）型积分

5.6.4 其他类型（积分路径上有奇点）的

积分计算举例

5.7 典型综合实例

小结

习题

计算机仿真编程实践

第6章 保角映射

6.1 保角映射的概念

6.2 分式线性映射

6.2.1 分式线性映射的概念

6.2.2 两种基本映射

6.2.3 分式线性映射的性质

6.2.4 分式线性映射的确定及应用

6.2.5 三类典型的分式线性映射

6.3 几个初等函数所构成的映射

6.3.1 幂函数映射

6.3.2 指数函数ｗ＝ｅｚ映射

6.3.3 儒可夫斯基函数映射

6.4 典型综合实例

小结

习题

计算机仿真编程实践

第二篇 数学物理议程

第7章 数学建模---数学物理定解问题

7.1 数学建模---波动方程类型的建立

7.1.1 波动方程的建立

7.1.2 波动方程的定解条件

7.2 数学建模---热传导方程类型的建立

7.2.1 数学物理方程---热传导类型方程的建立

7.2.2 热传导（或扩散）方程的定解条件

7.3 数学建模---稳定场方程类型的建立

7.3.1 稳定场方程类型的建立

7.3.2 泊松方程和拉普拉斯方程的定解条件

7.4 数学物理定解理论

7.4.1 定解条件和定解问题的提法

7.4.2 数学物理定解问题的适定性

7.4.3 数学物理定解问题的求解方法

7.5 典型综合实例

小结

习题

计算机仿真编程实践

第8章 二阶线性偏微分方程的分类

8.1 基本概念

8.2 数学物理方程的分类

8.3 二阶线性偏微分方程标准化

8.4 二阶线性常系数偏微分方程的进一步化简

8.5 线性偏微分方程解的特征

8.6 典型综合实例

小结

习题

计算机仿真编程实践

第9章 行波法与达朗贝尔公式

9.1 二阶线性偏微分方程的通解

9.2 二阶线性偏微分方程的行波解

9.3 达朗贝尔公式

9.3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式

9.3.2 达朗贝尔公式的物理意义

9.4 达朗贝尔公式的应用

9.4.1 齐次偏微分方程求解

9.4.2 非齐次偏微分方程的求解

9.5 定解问题的适定性验证

9.6 典型综合实例

小结

习题

计算机仿真编程实践

第10章 分离变量法

10.1 分离变量理论

10.1.1 偏微分方程变量分离及条件

10.1.2 边界条件可实施变量分离的条件

10.2 直角坐标系下的分离变量法

10.2.1 分离变量法介绍

10.2.2 解的物理意义

10.2.3 三维形式的直角坐标分离变量

10.2.4 直角坐标系分离变量例题分析

10.3 二维极坐标系下拉普拉斯方程的分离变量法

10.4 球坐标系下的分离变量法

10.4.1 拉普拉斯方程Δｕ＝0的分离变量（与时间无关）

10.4.2 与时间有关的方程的分离变量

10.4.3 亥姆霍兹方程的分离变量

10.5 柱坐标系下的分离变量

10.5.1 与时间无关的拉普拉斯方程分离变量

10.5.2 与时间相关的方程的分离变量

10.6 非齐次二阶线性偏微分方程的解法

10.6.1 泊松方程非齐次方程的特解法

10.6.2 非齐次偏微分方程的傅里叶级数解法

10.7 非齐次边界条件的处理

10.8 典型综合实例

小结

习题

计算机仿真编程实践

第11章 幂级数解法---本征值问题

11.1 二阶常微分方程的幂级数解法

11.1.1 幂级数解法理论概述

11.1.2 常点邻域上的幂级数解法（勒让德方程的求解）

11.1.3 奇点邻域的级数解法（贝塞尔方程的求解）

11.2 施图姆刘维尔本征值

11.2.1 施图姆刘维尔本征值问题

11.2.2 施图姆刘维尔本征值问题的性质

11.2.3 广义傅里叶级数

11.2.4 复数的本征函数族

11.2.5 希尔伯特空间矢量分解

11.3 综合实例

小结

习题

计算机仿真编程实践

第12章 格林函数法

12.1 格林公式

12.2 解泊松方程的格林函数法

12.3 无界空间的格林函数基本解

12.3.1 三维球对称情形

12.3.2 二维轴对称情形

12.4 用电像法确定格林函数

12.4.1 上半平面区域第一边值问题的格林函数构建方法

12.4.2 上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题

12.4.3 圆形区域第一边值问题的格林函数构建

12.4.4 球形区域第一边值问题的格林函数构建

12.5 典型综合实例

小结

习题

计算机仿真编程实践

第13章 积分变换法求解定解问题

13.1 傅里叶变换

13.1.1 傅里叶变换

13.1.2 广义傅里叶变换

13.1.3 傅里叶变换的基本性质

13.2 拉普拉斯变换

13.2.1 拉普拉斯变换

13.2.2 拉普拉斯变换的性质

13.2.3 拉普拉斯变换的反演

13.3 傅里叶变换法解数学物理定解问题

13.3.1 弦振动问题

13.3.2 热传导问题

13.3.3 稳定场问题

13.4 拉普拉斯变换解数学物理定解问题

13.4.1 无界区域的问题

13.4.2 半无界区域的问题

小结

习题

第14章 保角变换法求解定解问题

14.1 保角变换与拉普拉斯方程边值问题的关系

14.2 保角变换法求解定解问题典型实例

习题

计算机仿真编程

第15章 数学物理方程综述

15.1 线性偏微分方程解法综述

15.2 非线性偏微分方程

15.2.1 孤立波

15.2.2 冲击波

小结

第二篇综合测试题

第三篇 特殊函数

第16章 勒让德多项式---球函数

16.1 勒让德方程及其解的表示

16.1.1 勒让德方程、勒让德多项式

16.1.2 勒让德多项式的表示

16.2 勒让德多项式的性质及其应用

16.2.1 勒让德多项式的性质

16.2.2 勒让德多项式的应用（广义傅里叶级数展开）

16.3 勒让德多项式的生成函数（母函数）

16.3.1 勒让德多项式的生成函数的定义

16.3.2 勒让德多项式的递推公式

16.4 连带勒让德函数

16.4.1 连带勒让德函数的定义

16.4.2 连带勒让德函数的微分表示

16.4.3 连带勒让德函数的积分表示

16.4.4 连带勒让德函数的正交关系与模的公式

16.4.5 连带勒让德函数---广义傅里叶级数

16.4.6 连带勒让德函数的递推公式

16.5 球函数

16.5.1 球函数的方程及其解

16.5.2 球函数的正交关系和模的公式

16.5.3 球面上函数的广义傅里叶级数

16.5.4 拉普拉斯方程的非轴对称定解问题

16.6 典型综合实例

小结

习题

计算机仿真编程实践

第17章 贝塞尔函数

17.1 贝塞尔方程及其解

17.1.1 贝塞尔方程

17.1.2 贝塞尔方程的解

17.2 三类贝塞尔函数的表示式及性质

17.2.1 第一类贝塞尔函数

17.2.2 第二类贝塞尔函数

17.2.3 第三类贝塞尔函数

17.3 贝塞尔函数的基本性质

17.3.1 贝塞尔函数的递推公式

17.3.2 贝塞尔函数与本征值问题

17.3.3 贝塞尔函数的正交性和模

17.3.4 广义傅里叶贝塞尔级数

17.3.5 贝塞尔函数的母函数（生成函数）

17.4 虚宗量贝塞尔方程

17.4.1 虚宗量贝塞尔方程的解

17.4.2 第一类虚宗量贝塞尔函数的性质

17.4.3 第二类虚宗量贝塞尔函数的性质

17.5 球贝塞尔方程

17.5.1 球贝塞尔方程

17.5.2 球贝塞尔方程的解

17.5.3 球贝塞尔函数的级数表示

17.5.4 球贝塞尔函数的递推公式

17.5.5 球贝塞尔函数的初等函数表示式

17.5.6 球形区域内的球贝塞尔

方程的本征值问题

17.6 典型综合实例

小结

习题

计算机仿真编程实践

第三篇综合测试题

第四篇 计算机仿真

第18章 计算机仿真在复变函数中的应用

18.1 复数运算和复变函数的图形

18.1.1 复数的基本运算

18.1.2 复数的运算

18.1.3 复变函数的图形

18.2 复变函数的极限与导数、解析函数

18.2.1 复变函数的极限

18.2.2 复变函数的导数

18.2.3 解析函数

18.3 复变函数的积分与留数定理

18.3.1 非闭合路径的积分计算

18.3.2 闭合路径的积分计算

18.4 复变函数级数

18.4.1 复变函数级数的收敛及其收敛半径

18.4.2 单变量函数的泰勒级数展开

18.4.3 多变量函数的泰勒级数展开

18.5 傅里叶变换及其逆变换

18.5.1 傅里叶积分变换

18.5.2 傅里叶逆变换

18.6 拉普拉斯变换及其逆变换

18.6.1 拉普拉斯变换

18.6.2 拉普拉斯逆变换

计算机仿真编程实践

第19章 数学物理方程的计算机仿真求解

19.1 用偏微分方程工具箱求解偏微分方程

19.1.1 用ＧＵＩ解ＰＤＥ问题

19.1.2 计算结果的可视化

19.2 计算机仿真编程求解偏微分方程

19.2.1 双曲型：波动方程的求解

19.2.2 抛物型：热传导方程的求解

19.2.3 椭圆型：稳定场方程的求解

19.2.4 点源泊松方程的适应解

19.2.5 亥姆霍兹方程的求解

19.3 定解问题的计算机仿真显示

19.3.1 波动方程解的动态演示

19.3.2 热传导方程解的分布

19.3.3 泊松方程解的分布

19.3.4 格林函数解的分布

19.3.5 本征值问题中本征函数的分布

计算机仿真编程实践

第20章 特殊函数的计算机仿真应用

20.1 连带勒让德函数、勒让德函数、球函数

20.1.1 连带勒让德函数

20.1.2 勒让德多项式

20.1.3 球函数

20.1.4 勒让德多项式的母函数图形

20.2 贝塞尔函数（柱函数）

20.2.1 贝塞尔函数

20.2.2 虚宗量贝塞尔函数

20.2.3 球贝塞尔函数的图形

20.2.4 平面波用柱面波形式展开

20.2.5 定解问题的图形显示

20.3 其他特殊函数

计算机仿真编程实践

第四篇综合测试题

参考文献

《高等学校教材：数学物理方法与仿真（第2版）》系统地阐述了复变函数论、数学物理方程的各种解法、特殊函数以及计算机仿真编程实践等内容，对培养思维能力和实践编程能力具有指导意义。《高等学校教材：数学物理方法与仿真（第2版）》在取材的深度和广度上充分考虑到前沿学科领域知识内容，形成了具有前沿学科特点的数学物理方法与计算机仿真相结合的系统化理论体系。
《高等学校教材：数学物理方法与仿真（第2版）》结构层次清晰，理论具有系统性和完整性，重点立足于对思维能力的培养，加强计算机仿真能力的训练，分别介绍了复变函数、数学物理方程和特殊函数的计算机仿真求解及其解的仿真图形显示。习题解答和仿真程序等可以通过网络下载。
《高等学校教材：数学物理方法与仿真（第2版）》可作为物理学、地球物理学、电子信息科学、光通信技术、空间科学、天文学、地质学、海洋科学、材料科学等学科领域的理工科大学本科教材，也可供相关专业的研究生、科技工作者作为参考资料并进行计算机仿真训练。